生成函数简介

定义#

序列 $A$ 的生成函数（又称母函数，generating function），是一种形式幂级数，其每一项的系数都可以提供关于 $A$ 的信息。

形式幂是指，无论函数的自变量的取值是多少，都不影响原序列的信息。

常用的有普通生成函数和指数生成函数。

生成函数经常被用于处理组合/排列问题。

普通生成函数#

开放形式#

我们看这样一个模型：

有三堆颜色不同的球，分别为 $A,B,C$。其中，$A$ 有 3 个，$B$ 有 4 个，$C$ 有 2 个。问从中取出 4 个球进行组合的方案数是多少？

我们定义多项式 $A(x)=1+x+x^2$，系数表示 1 种方案，指数表示取几个。$B,C$ 同理。

那么最后的答案即为 $A*B*C(x)$ 的第 4 项上的系数。因为第 4 项的系数表示取 4 个的方案数。

可以乘起来的原因是多项式乘法的本质是乘法分配律后同阶相加。

我们称形如 $F(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$ 为序列 $[a_1,a_2,\dots,a_n]$ 的普通生成函数。

再来一个例子：

若有面值为 $1,2,3,4$ 的钱币各 1 枚，请问一共能凑出多少种面值？

$(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)$ 的项数即为答案。如果至少去一个就去掉常数项。

封闭形式#

我们在实际运用中，直接做形式幂级数的形式十分不方便。我们可不可以找到一个简洁的形式使其脱离多项式，尤其是项数 $\rightarrow \infty$ 的时候。

我们拿 $[1,1,1,\dots]$ 的生成函数 $F(x)=\sum_{i\geqslant0}x^i$ 来举例：

$$\begin{aligned} F(x)x+1 &= F(x) \\ F(x) &= \frac{1}{1-x} \end{aligned}$$

或者直接使用等比数列求和公式可以得到：

$$\begin{aligned} F(x)&:=\sum_{i=0}^n x^i \\ F(x)&=\frac{1-x^n}{1-x} \end{aligned}$$

当 $n \rightarrow \infty$ 时，$x^n \rightarrow 0$。

亦或者等比数列 $[1,a,a^2,a^3,\dots]$ 的生成函数 $F(x)=\sum_{i\geqslant0}a^ix^i$：

$$\begin{aligned} F(x)ax+1 &= F(x) \\ F(x) &= \frac{1}{1-ax} \end{aligned}$$

这里列举一些：

$$\begin{aligned} &\sum_{i\geqslant0}x^i=\frac{1}{1-x}\\ &\sum_{i\geqslant0}a^ix^i=\frac{1}{1-ax}\\ &\sum_{i\geqslant0}x^{2i}=\frac{1}{1-x^2}\\ &\sum_{i\geqslant0}(i+1)x^i=\frac{1}{(1-x)^2} \end{aligned}$$

我们一般先将初始的几个函数转成封闭形式，乘起来后再转回开放形式得到答案。

指数生成函数#

普通生成函数可以用来解决组合问题，而指数生成函数可以用来解决排列问题。

多重集排列数#

多重集是指包含重复元素的广义集合。我们设 $S={a_1n_1,a_2n_2,\dots,a_nn_n}$，则 $S$ 的全排列个数为 $\frac{n!}{a_1!a_2!\dots a_n!}$。