「CTSC2004」最优切割

题目大意#

[CTSC2004]最优切割 - HydroOJ

给定一个平面直角坐标系上的木模板和一个目标零件（均为凸多边形），保证零件位于模板内部，且任意不相邻的两边延长线的交点在模板外。

你要进行若干次操作，每次沿着零件的一条边将模板切割成两部分，且只保留含有零件的一部分。

定义加工零件的费用为切割的总长度，求最小花费。

题解#

首先，我们将零件各边所在直线画出来

不难发现，除共线情况以外，零件上的长度最终都是一定要计算的，因此我们放到最后加上去。

那么就只需考虑零件上每个顶点延伸出来的两条线段。

由于每一刀必定切完，因此每个顶点的两条延长线必定且只能选择一条进行累计（因为另一条被切掉了）。

此时可以考虑贪心，优先选择每一个角上较短的那一条切开。但是这样做是有问题的，因为每一刀不一定切到底了。

我们可以尝试分析一下什么情况会导致没有切到底：

1. 如果有两条选择的线段恰好与该边共线

   

   稍微手玩一下不难发现，只要我们切下了第一刀，之后都能保证选择较短的那一条线段。

   原因是每一对“短线段”都会把原本的环/链断开，最终 零件上每一段连续的顶点 的 较短延长线 要么均为顺时针，要么均为逆时针。

   此时按照排列方向切开即可（如上图）。

2. 如果没有”短线段对“，则代表短线段均为逆/顺时针排布，此时必须选择一个顶点，将其短线段换成长线段。选择两者差最小的顶点即可。

   

至此，我们得到了一个贪心算法：

1. 求出零件上每个顶点的延长线到模板边界的距离（注意特判共线）
2. 选择合适的边切第一刀
3. 将余下的短边累加起来
4. 将零件边界的长度补上（注意特判共线）

代码略。