线性基入门

线性基维护的是向量空间的一组基。在 OI 中，这种算法一般用来解决子集异或和类型的题目。

基本定义#

容易发现，异或运算本身等价于在各数位上进行模二意义下的加法。

即每一个数位看作一维，每一个数都看作一个 $n$ 维向量。

我们相当于求 $\Z_2^n$ 的一组基。

首先定义什么是线性表示：

定义1：定义一整数集合（以下均指整数集合） $S={x_1,x_2,\dots,x_n}$ 的异或和 $\text{sum}(s):=x_1 \text{xor} x_2\dots\text{xor}x_n$ 。

即为所有数异或起来的结果。

注意到这里的“系数”只有零和一，所以异或就是这个线性空间里唯一的线性运算。

定义2：定义一个集合 $S$ 的张成 $\text{span}(S) = \{\text{sum}(T)\ |\ T \subseteq S\}$。

$S$ 的所有子集的异或和组成的集合。与原本的张成定义类似。

若对于集合 $S$，$0 \in \text{span}(S)$，则称集合 $S$ 线性相关。反正，则称 $S$ 线性无关。

就是如果 $S$ 中有一个元素 $S_i$ 能被表示为其余某些元素的异或和，则这个集合 $S$ 线性相关。

线性基#

我们称集合 $B$ 是 $S$ 的线性基，当且仅当 $B$ 满足：

1. $\forall a\in S,a\in\text{span}(B)$。
2. $B$ 是满足条件 1 的最小集合。

通俗来讲就是没有冗余的向量组。

构造方法#

考虑高斯消元，显然可以直接求出基底。

高斯消元的过程相当于化成三角矩阵，那么我们只要类似的构造三角矩阵即可。

我们在进行高斯消元的时候，总是确定一个行向量，然后用其他行向量去减去这个行向量来进行加减消元。

那么我们这里就直接进行异或，把这一位异或掉即可。

具体来讲，我们定义数组 $p$ 为集合 $S$ 的线性基，其中 $p_i$ 表示用来控制这一位为 1 的数。

考虑向 $S$ 中加入一个数 $x$。从高到低考虑 $x$ 的二进制的每一个为 1 的数位：

• 如果 $p_i$ 不存在，说明之前的数无法使这一位为 1，直接令 $p_i \leftarrow x$。
• 否则，对 $x$ 进行消元，令 $x \leftarrow x \text{xor} p_i$。

const int N = 105;
int n;
long long p[N], ans;
void ins(long long x) {
	for (int i = 63; i>=0; i--) {
		if (x >> i == 0) continue;
		if (!p[i]) return p[i] = x, void();
		x ^= p[i];
	}
}

应用#

查询一个数是否可被表示#

与插入类似，直接进行消元，最终消成零就说明可被表示。

查询子集异或最大/小值#

逐位考虑即可。假设消元是从大到小进行的：

对于最小值，由构造方法知道，$p_i$ 即是可被表示的最高位为 1 的数。

找到存在的最低位的 $p_i$，容易知道这个数是唯一的。因为如果存在两个最高位都为 $i$ 的数 $a,b$，那么 $a \text{xor} b$ 的最高位必定比 $i$ 小，矛盾。

所以最小值就是这个 $p_i$。

对于最大值，显然将所有存在的维度全部变成 1 是最大的。

查询第 $k$ 小#

注意到我们在查询最小值的时候利用了最低位的唯一性。

那么我们能否对线性基进行一下改造，使得其具有类似的“唯一”性质呢？

注意到，如果只使用 $1,2,4,8\dots$ 这一类二的幂，是必定可以构造出一组基的，而且用这一组基来构造第 $k$ 小的方法显而易见。

从高到低考虑每一位，将 $p_i$ 异或上后面的某些 $p_j$，使得 $p_i$ 只有最高位为一即可。

举例：

110 011 001

变成

100 010 001

然后就是简单的构造。

查询排名#

贰分。