后缀自动机学习笔记

定义与性质#

后缀自动机（Suffix Automaton，简称 SAM）是用于解决字符串问题的强有力的工具。它是一个能够接受字符串所有后缀的最小 DFA。

SAM 是一张有向无环图，每个节点叫做状态，每条边被称作转移。

SAM 存在一个源点 $t$，称为初始状态。任何状态均可从初始状态到达。

每一个转移都对应于一个字母，每个状态的转移都各不相同。

存在若干个终止状态。从 $t$ 出发走到一个终止状态，则这条路径对应原串的一个后缀。同样的，任意一个后缀都可以通过 SAM 上从初始状态到终止状态的一条路径来表示。

SAM 上每一条路径对应原串的一个子串。换句话说， SAM 上的路径和原串上的子串一一对应。

到达某个状态的路径不止一条，所以一个状态表示的实际上是一个集合。

构造 SAM#

在构造 SAM 之前，我们需要了解一些前置知识。

结束位置集合 endpos#

对于串 $s$ 的任意一个非空的子串 $t$，我们定义 $\operatorname{endpos}(t)$ 为字符串 $t$ 在 $s$ 中出现的末尾位置的集合。

例如，有 $s="abcaabcabca"$，$t="abc"$ 的 $\operatorname{endpos}(t)=\{3, 7,10\}$（下标从 $1$ 开始）。

两个非空子串 $t_1,t_2$ 的 $\operatorname{endpos}$ 可能相等，我们称这两个 $\operatorname{endpos}$ 是等价的，它们同属于同一个等价类。原串 $s$ 的所有子串被这样划分为若干个等价类。

引理1：同属于同一个等价类的串之间必然有后缀关系。如果两个字符串 $t_1,t_2\ (|t_1| \leqslant |t_2|)$ 的 $\operatorname{endpos}$ 相同，当且仅当 $t_1$ 在 $s$ 中每次出现，都是 $t_2$ 的后缀。

由定义，引理显然成立。

引理2：考虑两个 $s$ 的子串 $u,v \ (|u| \leqslant |v|)$，有

$$\begin{cases} \operatorname{endpos}(v) \subseteq \operatorname{endpos}(u) & \text{if}\ u\ \text{is a suffix of}\ v\\ \operatorname{endpos}(u) \cap \operatorname{endpos}(v) = \varnothing & \text{otherwise} \end{cases}$$

如果 $u$ 是 $v$ 的后缀，那么每一次 $v$ 出现 $u$ 都会出现，所以 $\operatorname{endpos}(v) \subseteq \operatorname{endpos}(u)$。否则，两者绝对不会有相同的 $\operatorname{endpos}$。

引理3：每一个 $\operatorname{endpos}$ 类都是由若干个长度连续，并且具有后缀关系的子串构成的。

上面引理的推论

引理4：同一个 $\operatorname{endpos}$ 类中的子串同时加上同一个字符后，它们仍然属于同一个 $\operatorname{endpos}$ 类。

同时加上一个字符，仍然满足后缀关系。

后缀链接和 parent 树#

对于一个不是初始状态的状态 $v$，我们将其中的串按照长度从大到小排序，由引理3，除去最大的以外，其余每个子串都是最大串的后缀。记这个最大串为 $\operatorname{longest}(v)$，其长度为 $\text{len}(v)$。

我们找到第一个 $\operatorname{longest}(v)$ 的后缀 $t$ 使得 $v\subsetneqq\operatorname{endpos}(t)=u$。我们就将 $\operatorname{fail}(v) \rightarrow u$。

引理5：所有后缀链接构成了一棵树。

每个状态的出度和入度都为 $1$。我们称这棵树为 parent 树。

引理6：由后缀链接构成的 parent 树与后缀树相同。

不知道。

构造方法#

我们定义在插入某个字符 $c$ 前的状态为 $last$，新插入的状态为 $now$。

我们沿着 $last$ 的 $fail$ 边向上跳，设每次跳到状态 $p$。如果 $p$ 没有连向 $c$ 的边，那么就讲它直接连向 $now$。

如果最后跳到了 $t$ 就将 $\text{fail}(now) \rightarrow t$。

否则分成两种情况：

我们定义状态 $q$ 为 $p$ 转移为 $c$ 的状态。

1. $\text{len}(q) = \text{len}(p) + 1$

   说明 $q$ 和 $p$ 之间只差了一个字符。此时可以直接 $\text{fail}(now) \rightarrow q$。

2. 否则，我们需要新建一个节点来辅助建边。

   我们新建状态 $clone = q$，复制其除了 $len$ 的所有信息。

   让 $\text{len}(clone)=\text{len}(p)+1$。

   此时我们让 $\text{fail}(q) \rightarrow clone, \text{fail}(now) \rightarrow clone$。

正确性证明#

不会。

代码实现#

class Suffix_Automaton {
    struct node {
        int len, fail;
        int ch[26];
    } tr[N << 1];
    int tot = 1, last = 1;

  public:
    void ins(int x) {
        int p = last, q, now = ++tot;
        siz[now] = 1;
        tr[now].len = tr[p].len + 1;
        for (; p && !tr[p].ch[x]; p = tr[p].fail)
            tr[p].ch[x] = now;
        if (!p) {
            tr[now].fail = 1;
        } else {
            q = tr[p].ch[x];
            if (tr[q].len == tr[p].len + 1) {
                tr[now].fail = q;
            } else {
                int cl = ++tot;
                tr[cl] = tr[q];
                tr[cl].len = tr[p].len + 1;
                tr[q].fail = tr[now].fail = cl;
                for (; p && tr[p].ch[x] == q; p = tr[p].fail)
                    tr[p].ch[x] = cl;
            }
        }
        last = now;
    }
} SAM;

应用#

自动机#

SAM 接收了关于一个字符串的所有信息。每一条从原点出发的路径都代表着原串的一个子串，并且不是原串子串的一定不是从原点出发的路径。

和一般的自动机一样，我们可以在上面进行字符串的匹配与查找。

parent树#

本质上是被压缩过的后缀树。后缀自动机的独特之处在于 $\rm len$ 和 $\rm fail$ 。

上面已经说过，同一个状态中的串连续并满足后缀关系，是它的 $\rm fail$ 的真子集。

我们可以在 parent 树上进行差分，$\rm len(i) - len(fail(i))$ 即为同等价类的串的个数。

不同子串个数#

统计自动机上路径条数即可。

或者统计每个等价类包含的串的个数。

如果要统计总长度，改一下求和就行了。

子串出现次数#

利用树形结构，我们定义 $\rm siz(t)$ 为状态 $t$ 的 $\rm endpos$ 集合大小。

由于 $\rm fail$ 满足后缀关系。所以，如果一个串在某个地方被匹配到了，那么它将在它的所有子节点（parent 树上）的同样位置出现。

所以对子树的 $\rm siz$ 求和即可。

void dfs(int x) {
    // siz 在构建的时候为1
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].next) {
        const int y = e[i].to;
        dfs(y);
        siz[x] += siz[y];
    }
}

本质不同子串个数#

$\rm siz$ 设为 1 就无了。

区间本质不同子串个数#

好玩 SAM + LCT + 线段树。码量就 150 行。