生成函数法求序列通项公式

前置知识#

生成函数的概念以及运算

基本方法#

生成函数求通项公式的基本思想是将序列的生成函数转成封闭形式，再用其他方法将其转成开放形式，取其系数就是通项公式。

斐波那契数列与卢卡斯数列#

• Fibonacci 数列的定义是：$F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>1)$。

• Lucas 数列的定义是：$L_0=2,L_1=1,L_n=L_{n-1}+L_{n-2}(n>1)$。

发现它们的定义十分相似。

对于 Fibonacci 数列，我们有：

$$F_n={\dfrac{(\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n}{\sqrt 5}}$$

对于 Lucas 数列，我们有：

$$L_n = {(\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n + (\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n}$$

待定系数求通项公式#

定义 Lucas 数列的生成函数 $L(x)$。由递推式，我们有：

$$\begin{aligned} L(x) &= x^2L(x)+xL(x)+2-x\\ L(x) &= \dfrac{2-x}{1-x-x^2} \end{aligned}$$

我们考虑通过等比数列的生成函数来表示 $L(x)$。用待定系数法，设有：

$$\dfrac{A}{1-ax}+\dfrac{B}{1-bx} = \dfrac{2-x}{1-x-x^2} \\ $$

可以得到：

$$\begin{cases} A+B=2 \\ Ab+aB=1 \\ a+b=1 \\ ab=-1 \\ \end{cases}$$

解得

$$\begin{cases} A=1 \\ B=1 \\ a = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} \\ b = \dfrac{1-\sqrt 5}{2} \end{cases}$$

所以

$$L(x)=\sum_{n \ge 0}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)x^n \\ L_n = (\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n+(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n$$

同样地，对于 Fibonacci 数列，我们有：

$$\begin{aligned} F(x) &= x^2F(x)+xF(x)+x \\ F(x) &= \dfrac{x}{1-x-x^2} \end{aligned}$$

待定系数，解得

$$\begin{cases} A=\dfrac{1}{\sqrt 5} \\ B=-\dfrac{1}{\sqrt 5} \\ a = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} \\ b = \dfrac{1-\sqrt 5}{2} \end{cases}$$

所以有

$$F(x)=\sum_{n \ge 0}\dfrac{1}{\sqrt 5}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)x^n \\ F_n = \dfrac{1}{\sqrt 5}\left((\dfrac{1+\sqrt 5}{2})^n-(\dfrac{1-\sqrt 5}{2})^n\right)$$

方法总结#

• 由递推式将 $A_n$ 写成方程。
• 将方程中的数换成生成函数。
• 检查正确性，是否有系数偏差，将缺失的部分补上。
• 解方程得到封闭形式。
• 将封闭形式转为开放形式，其系数即为通项公式。

广义二项式定理#

我们可以将 $(x+y)$ 的任意正整数次幂写成：

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}= \begin{bmatrix}a^0&\cdots&a^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\binom{n}{0}\\&\ddots\\&&\binom{n}{n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b^0\\\vdots\\b^n\end{bmatrix} \quad(n\in\mathbf{N^+})$$

将其拓展到实数域：

$$\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\dots(\alpha-k+1)}{k!}=\frac{(\alpha)_k}{k!}\\ (x+y)^\alpha=\sum_{k\ge0}\binom{\alpha}{k}x^ky^{n-k}$$

证明#

数学归纳法。

具体过程不会咕了。