以 Frégier 定理为背景的一类圆锥曲线定点定值问题学习笔记

本文参考知乎大神明月清风的圆锥曲线一类定点问题研究。

首先给出 Frégier 定理：

定理（Frégier定理）：设有圆锥曲线 $E$ 及其上一定点 $P$，设 $E$ 上两点 $B,C$ 满足 $A$ 在以 $BC$ 为直径的圆上，则直线 $BC$ 过定点 $D$，并称该点 $D$ 为点 $A$ 关于 $E$ 的 Frégier 点。

特别地，若 $BC$ 斜率为定值，那么我们认为其恒过无穷远点。

另外，当 $A$ 运动时，点 $D$ 的运动轨迹为与 $E$ 同心、相似的圆锥曲线。

不难发现这种题在高中圆曲体系里很常见，并且解决方法还挺多样的。

一般可以爆算，齐次化，或者点乘双根。

但更多见的是一类斜率和/积为定值的题目。

这个时候点乘双根就不太合适，选择爆算，齐次化，或者转成极点极线然后用定比点差。

推论：记 $k_{AB}=k_1,k_{AC}=k_2$。若 $\exists\lambda,\mu ,C\in\mathbb{R}$，使得 $\lambda k_1k_2+\mu(k_1+k_2)=C$ 恒成立，那么直线 $BC$ 恒过定点 $D$。

设 $A(x_0, y_0)$：

• 对于椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，定点 $D$ 为 $(x_0+\dfrac{2a^2\mu y_0-2b^2\lambda x_0}{\lambda b^2-Ca^2},y_0+\dfrac{2a^2Cy_0+2b^2\mu x_0}{\lambda b^2-Ca^2})$。

  

• 对于双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$，将上式中的 $b^2$ 换成 $-b^2$ 即可。

  

• 对于抛物线 $y^2=2px$，定点 $D$ 为 $(x_0-\dfrac{2\lambda p+2\mu y_0}{C},-y_0+\dfrac{2\mu p}{C})$。