整除性与算术基本定理

定义#

若一个大于1的正整数只能被1和它本身整除，则称该数为质数（或素数），否则称该数为合数（复合数）。

如果一个正整数$a$有一个因数$b$，并且$b$为质数，则称$b$为$a$的质因数。

若有正整数$a_1, a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n(n \geqslant 2)$和$d$，并且$d|a_1,d|a_2,\cdot \cdot \cdot ,d|a_n$，则称$d$为$a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n$的公因数。其中最大的那一个数叫做$a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n$的最大公因数，写作$\gcd(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n)$。

若有正整数$a_1, a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n(n \geqslant 2)$和$m$，并且$a_1|m,a_2|m,\cdot \cdot \cdot ,a_n|m$，则称$m$为$a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n$的公倍数。其中最小的那一个数叫做$a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n$的最小公倍数，写作$\operatorname{lcm}(a_1,\cdot \cdot \cdot ,a_n)$。

在整个自然数集合中，质数数量不多，分布稀疏。对于一个足够大的数$N$，不超过$N$的质数大约有$\frac{n}{\ln N}$个，即每$\ln N$个数中大约有一个质数。

引理#

1. 一个大于1的正整数$a$的大于1的最小因数一定是质数。

   如果$a$是质数，则引理显然成立。

   如果$a$是合数，则除去1和$a$以外，一定还有其它正因数，设那个最小的为$b$。

   若$b$是合数，则$b$必然有一个大于1小于$b$的因数$c$，由$c|b,b|a$得到$c|a$且$c<a$，矛盾。引理得证。

   这个引理说明了任何一个大于1的正整数都至少有一个质因数。

2. 有无限多个质数。

   假设质数有有限多个，个数为$n$，分别为$p_1,p_2,\cdot \cdot \cdot ,p_n$。令$a=p_1p_2 \cdot \cdot \cdot p_n+1$。如果$a$是素数，因为$a \ne p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_n$，所以质数最少应有$n+1$个，矛盾。如果$a$是合数，由引理1得$a$一定有一个质因数$b$且$b \ne p_1,p_2,\cdot\cdot\cdot,p_n$，矛盾。

3. 若一正整数$a$为合数，则存在一个能整除$a$的数$d$，其中$2\leqslant d \leqslant \sqrt a$

   由定义，因为$a$为合数，所以存在一个能整除$a$的数$m$，其中$2\leqslant m \leqslant n-1$。

4. 任何大于1的整数$a$都能分解成质因数的连乘积，即$a = \prod_{i=1}^{n}p_i \ (n \geqslant 1)$

   当$a$为质数时，$a=p$，引理成立。

   当$a$为合数时，由引理1，$a$必然有一个质因数$p_1$，使得$a=p_1 \cdot a_1 (a_1 > 1)$。如果$a_1$为质数，引理成立。否则，重复上述过程，最后必得$a = \prod_{i=1}^{n}p_i \ (n \geqslant 1)$。

质数#

质数的判定#

试除法#