向量的运算及性质#
前置知识(也许):线性代数基础知识 - LewisLi
除非特殊说明,否则以下向量均默认指三维向量。
线性运算#
包括加法与数乘。
点积(内积)——垂直与正交#
设向量 →a=(x,y,z),定义其模(2-范数)为 |→a|=√x2+y2+z2,几何意义为向量所对应的有向线段的长度。
模是度量向量大小的方法,它满足:
- 正定性:|→a|>0,|→0|=0。
- 正齐次性:|λ→a|=λ|→a|。
- 三角不等式:|→a+→b|≤|→a|+|→b|。
若数域 F 上的线性空间 V 存在满足上述三条性质的映射 ||⋅||:V→F,则称 V 为一个赋范空间。这里不深入讨论。
利用模,我们可以定义向量的单位化:^a=→a|→a|,|^a|=1。
两个向量张成一个平面,它们必然存在一个夹角。
定义两个向量的内积 →a⋅→b=a1b1+a2b2+a3b3,并定义两个向量的夹角 cos<→a,→b>=→a⋅→b|→a||→b|。
容易验证这与我们熟知的夹角定义一致。
当 →a⋅→b=0 时,称这两个向量正交。
由定义不难推出内积是满足分配律的。
叉积(外积)——描述张成#
设有不共线向量 →a,→b 和 →v 满足 →v=λ→a+μ→b,即线性相关,那么,必然存在一个非令向量 →n,使得
{→a⋅→n=0→b⋅→n=0
从而 →v⋅→n=λ→a⋅→n+μ→b⋅→n=0+0=0。
于是我们就用一个向量 →n 表示了 →a,→b 的张成。
现在我们来解上面的方程,把系数写开:
{n1a1+n2a2+n3a3=0n1b1+n2b2+n3a3=0
由定义 ni 不同时为零,不妨假设 n3≠0,同时除以 n3,于是方程组转化为
{n1n3a1+n2n3a2=−a3n1n3b1+n2n3b2=−b3
由 Cramer 法则得到
n1n3=∣∣∣−a3a2−b3b2∣∣∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣,n2n3=∣∣∣a1−a3−b1−b3∣∣∣∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣
于是 →n 的一个特解为
→n=(∣∣∣a2a3b2b3∣∣∣,∣∣∣a3a1b3b1∣∣∣,∣∣∣a1a2b1b2∣∣∣)
将这个解作为 →a 与 →b 的叉积(外积),记为 →a×→b。约定当 →a=λ→b 时 →n=→0。
由行列式的性质也不难证明叉积满足分配律。
叉积的几何意义#
→n=→a×→b 同时与 →a 和 →b 正交,因此 →n 代表两向量所张成的平面的法向量。
可以证明,→a×→b 的模 |→n| 表示 →a,→b 围成的平行四边形的面积。
叉积的性质#
- 反交换律:→a×→b=−→b×→a。
- 分配律:→a×(→b+→c)=→a×→b+→a×→c。
- 线性性:λ→a×→b=→a×λ→b=λ(→a×→b)。
- 雅可比恒等式:→a×(→b×→c)+→b×(→c×→a)+→c×(→a×→b)=0。
- 叉积不满足结合律。
- 混合积:→a⋅(→b×→c)=|→a,→b,→c|。
- 拉格朗日公式:(→a×→b)×→c=(→c⋅→a)→b−(→c⋅→b)→a,→a×(→b×→c)=(→a⋅→c)→b−(→a⋅→b)→c。
齐次坐标#
无穷远元素的引入与射影平面#
传统欧式平面下,任意两点确定一条直线,任意两线却不一定有一个交点。
我们引入无穷远这一理想概念:任意一组平行的直线系中的直线均交于同一个无穷远点,所有方向上的无穷远点在一条无穷远直线上。
这样一来,平面上就不再有平行这一概念。所有直线都将是封闭的,也不存在左右的概念。
受到平面直角坐标系的启发,我们尝试用坐标来抽象地定义平面,但是二维坐标已经无法表示这个新平面的所有元素,即使我们约定 (∞,∞) 表示无穷远点。
因此我们引入一个新的维度:令 (x,y,z) 表示原来的 (xz,yz),并约定当 z=0 时表示原来 (x,y) 方向上的无穷远点。
这样一来,所有的 A(ρx,ρy,ρz)(ρ∈R,ρ≠0) 均表示同一元素,记为一个等价类 A。取 A 的一个代表记为 A∗。把所有等价类的集合称为一个射影平面,上述坐标称为绝对坐标。(0,0,0) 不表示任何元素,把它排除在平面外。
用新的坐标替换平面直角坐标系的直线:αxz+βyz+γ=0 得到射影平面上的直线方程 αx+βy+γz=0。如果把点看作向量,则直线表示为 (α,β,γ)⋅(x,y,z)=0。我们不妨用三元组 [α,β,γ] 来表示直线,方法与上面同理,当 α=β=0,γ≠0 时表示无穷远线。
有意思的是,点与直线的形式在这个定义下完全一致,因此点与线之间是可以互换的,在一个命题中把点换成线,线换成点,不改变正确性。这被称作对偶原理。
齐次坐标下坐标系的选取与运算的几何意义#
考察一条直线 l 与其上两点 A⋅l=0,B⋅l=0,则有 l⋅(λA+μB)=λA⋅l+μB⋅l=0,从而点 λA+μB 也在直线上。
同理,λξ+μζ 也一定过 ξ∩ζ。
因此,
在射影平面上取不共线三点 A,B,C,由定义它们线性无关,从而平面上任意一点 D 可以用不全为零的实数 λ,μ,σ 表示为 λA+μB+σC,称三元组 (λ,μ,σ) 为点 D 的相对坐标。
一旦 ABC 确定,每个点的相对坐标便确定了。但是无论坐标系如何选取,平面的定义始终与相对坐标无关,而平面上元素的关系(射影不变量)也不会随着坐标系的变化而变化。

从三维空间上看,所谓“射影平面”实质上是用一个面在空间中去截从原点发出的线束。而无穷远元素,其实是这个平面的灭点与灭线
用向量描述几何关系#
给定平面两点 A,B,他们确定一条直线 l,现在要根据点求出直线的坐标。
列方程 A⋅l=0,B⋅l=0,显然 l=A×B。
同理两直线交点 P=ξ×ζ。
让我们把目光暂时放回平面直角坐标系,假设有两点 (x1,y1)(x2,y2),在不涉及斜率的情况下,我们可以直接写出连线方程:∣∣∣y11y21∣∣∣x+∣∣∣1x11x2∣∣∣y+∣∣∣x1y1x2y2∣∣∣=0
让我们继续考虑直线 AB 上的另一点 C⋅(A×B)=0,由叉积性质得 |C,A,B|=0,即行列式为零。
同理 ξ,ζ,η 共点当且仅当 |ξ,ζ,η|=0。
二次曲线#
配极变换#
称一个射影平面上的点到线,线到点的变换为一个对射变换。
可以证明对射变换具有射影不变性。
对于一个对射变换 γ,若满足 γ2=I,则称这是一个配极变换。
二维射影平面上的配极可以写成三维对称矩阵 M,证明略。
于是有 γT=γ−1。
极点与极线#
记点 A 变换后的直线为 ξ=γA,称 (A,ξ) 为一组极点极线。
显然,若 A 的极线过点 B,那么 B 的极线过点 A,这被称为 配极原则。满足配极原则的两点配极共轭。
若 A⋅γA=0,称其为自共轭点或自共轭直线。
由配极导出的二次曲线#
射影平面上所有的自共轭点(直线)所组成(包络)的图形被称作一个二次曲线。
简单推导一下:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dxz+2Eyz+Fz2=0⇔(x,y,z)⎡⎢⎣ABDBCEDEF⎤⎥⎦⎛⎜⎝xyz⎞⎟⎠=0
判断位置关系#
配极曲线#
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战