向量运算在高中数学中的应用

向量的运算及性质#

前置知识(也许):线性代数基础知识 - LewisLi

除非特殊说明,否则以下向量均默认指三维向量。

线性运算#

包括加法与数乘。

点积(内积)——垂直与正交#

#

设向量 a=(x,y,z),定义其模(2-范数)为 |a|=x2+y2+z2,几何意义为向量所对应的有向线段的长度。

模是度量向量大小的方法,它满足:

  1. 正定性:|a|>0,|0|=0
  2. 正齐次性:|λa|=λ|a|
  3. 三角不等式:|a+b||a|+|b|

若数域 F 上的线性空间 V 存在满足上述三条性质的映射 ||||:VF,则称 V 为一个赋范空间。这里不深入讨论。

利用模,我们可以定义向量的单位化a^=a|a|,|a^|=1

内积#

两个向量张成一个平面,它们必然存在一个夹角。

定义两个向量的内积 ab=a1b1+a2b2+a3b3,并定义两个向量的夹角 cos<a,b>=ab|a||b|

容易验证这与我们熟知的夹角定义一致。

ab=0​​ 时,称这两个向量正交

由定义不难推出内积是满足分配律的。

叉积(外积)——描述张成#

设有不共线向量 a,bv 满足 v=λa+μb,即线性相关,那么,必然存在一个非令向量 n,使得

{an=0bn=0

从而 vn=λan+μbn=0+0=0

于是我们就用一个向量 n 表示了 a,b​ 的张成。

现在我们来解上面的方程,把系数写开:

{n1a1+n2a2+n3a3=0n1b1+n2b2+n3a3=0

由定义 ni 不同时为零,不妨假设 n30,同时除以 n3​,于是方程组转化为

{n1n3a1+n2n3a2=a3n1n3b1+n2n3b2=b3

由 Cramer 法则得到

n1n3=|a3a2b3b2||a1a2b1b2|,n2n3=|a1a3b1b3||a1a2b1b2|

于是 n 的一个特解为

n=(|a2a3b2b3|,|a3a1b3b1|,|a1a2b1b2|)

将这个解作为 ab 的叉积(外积),记为 a×b​。约定当 a=λbn=0

由行列式的性质也不难证明叉积满足分配律

叉积的几何意义#

n=a×b 同时与 ab 正交,因此 n​ 代表两向量所张成的平面的法向量。

可以证明,a×b 的模 |n| 表示 a,b 围成的平行四边形的面积。

叉积的性质#

  1. 反交换律:a×b=b×a
  2. 分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
  3. 线性性:λa×b=a×λb=λ(a×b)
  4. 雅可比恒等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0
  5. 叉积不满足结合律。
  6. 混合积:a(b×c)=|a,b,c|​。
  7. 拉格朗日公式:(a×b)×c=(ca)b(cb)a,a×(b×c)=(ac)b(ab)c

齐次坐标#

无穷远元素的引入与射影平面#

传统欧式平面下,任意两点确定一条直线,任意两线却不一定有一个交点。

我们引入无穷远这一理想概念:任意一组平行的直线系中的直线均交于同一个无穷远点,所有方向上的无穷远点在一条无穷远直线上。

这样一来,平面上就不再有平行这一概念。所有直线都将是封闭的,也不存在左右的概念。

受到平面直角坐标系的启发,我们尝试用坐标来抽象地定义平面,但是二维坐标已经无法表示这个新平面的所有元素,即使我们约定 (,) 表示无穷远点。

因此我们引入一个新的维度:令 (x,y,z) 表示原来的 (xz,yz),并约定当 z=0 时表示原来 (x,y) 方向上的无穷远点。

这样一来,所有的 A(ρx,ρy,ρz)(ρR,ρ0) 均表示同一元素,记为一个等价类 A。取 A 的一个代表记为 A。把所有等价类的集合称为一个射影平面,上述坐标称为绝对坐标(0,0,0) 不表示任何元素,把它排除在平面外。

用新的坐标替换平面直角坐标系的直线:αxz+βyz+γ=0 得到射影平面上的直线方程 αx+βy+γz=0。如果把点看作向量,则直线表示为 (α,β,γ)(x,y,z)=0。我们不妨用三元组 [α,β,γ] 来表示直线,方法与上面同理,当 α=β=0,γ0​ 时表示无穷远线。

有意思的是,点与直线的形式在这个定义下完全一致,因此点与线之间是可以互换的,在一个命题中把点换成线,线换成点,不改变正确性。这被称作对偶原理

齐次坐标下坐标系的选取与运算的几何意义#

考察一条直线 l 与其上两点 Al=0,Bl=0,则有 l(λA+μB)=λAl+μBl=0,从而点 λA+μB 也在直线上。

同理,λξ+μζ 也一定过 ξζ​。

因此,

在射影平面上取不共线三点 A,B,C,由定义它们线性无关,从而平面上任意一点 D 可以用不全为零的实数 λ,μ,σ 表示为 λA+μB+σC,称三元组 (λ,μ,σ) 为点 D 的相对坐标。

一旦 ABC​ 确定,每个点的相对坐标便确定了。但是无论坐标系如何选取,平面的定义始终与相对坐标无关,而平面上元素的关系(射影不变量)也不会随着坐标系的变化而变化。

空间视角下的齐次坐标

从三维空间上看,所谓“射影平面”实质上是用一个面在空间中去截从原点发出的线束。而无穷远元素,其实是这个平面的灭点与灭线

用向量描述几何关系#

给定平面两点 A,B,他们确定一条直线 l,现在要根据点求出直线的坐标。

列方程 Al=0,Bl=0,显然 l=A×B

同理两直线交点 P=ξ×ζ

让我们把目光暂时放回平面直角坐标系,假设有两点 (x1,y1)(x2,y2),在不涉及斜率的情况下,我们可以直接写出连线方程:|y11y21|x+|1x11x2|y+|x1y1x2y2|=0

让我们继续考虑直线 AB 上的另一点 C(A×B)=0,由叉积性质得 |C,A,B|=0,即行列式为零。

同理 ξ,ζ,η 共点当且仅当 |ξ,ζ,η|=0

二次曲线#

配极变换#

称一个射影平面上的点到线,线到点的变换为一个对射变换。

可以证明对射变换具有射影不变性。

对于一个对射变换 γ,若满足 γ2=I,则称这是一个配极变换

二维射影平面上的配极可以写成三维对称矩阵 M,证明略。

于是有 γT=γ1

极点与极线#

记点 A 变换后的直线为 ξ=γA,称 (A,ξ) 为一组极点极线。

显然,若 A 的极线过点 B,那么 B 的极线过点 A,这被称为 配极原则。满足配极原则的两点配极共轭。

AγA=0,称其为自共轭点或自共轭直线。

由配极导出的二次曲线#

射影平面上所有的自共轭点(直线)所组成(包络)的图形被称作一个二次曲线。

简单推导一下:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dxz+2Eyz+Fz2=0(x,y,z)[ABDBCEDEF](xyz)=0

判断位置关系#

配极曲线#

posted @   LewisLi  阅读(132)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
点击右上角即可分享
微信分享提示
主题色彩