BZOJ 2425 [HAOI2010]计数：数位dp + 组合数

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2425

题意：

　　给你一个数字n，长度不超过50。

　　你可以将这个数字：

　　　　（1）去掉若干个0

　　　　（2）打乱后重新排列

　　问你可以产生多少个小于n的数字。

 

题解：

　　题目中的第一个操作其实是没有用的。

　　去掉若干个0之后再重新排列（不允许前导0），和不去0直接重新排列（允许前导0），其实是等价的。

 

　　所以按照数位dp的方法从高到低按位统计。

　　如n = 2345时，分别统计前缀为0~1, 20~22, 230~233, 2340~2344的答案。

 

　　最高位为第1位。

　　假设当前考虑到第i位，1~i-1位都和原数字n完全匹配。

　　枚举第i位可以填了x∈[0,a[i])，则先让cnt[x]--。

　　然后就是i+1位之后的数如何填了。

　　设len = n-i。

　　方案数 = 先从len个位置中找了cnt[0]个位置全填0的方案数 * 又从(len-cnt[0])个位置中找了cnt[1]个位置全填1的方案数...

　　方案数 = C(len,cnt[0]) * C(len-cnt[0],cnt[1]) * C(len-cnt[0]-cnt[1],cnt[2])...

　　最后再让cnt[x]++回来，然后cnt[a[i]]--就好了。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 55
#define MAX_D 15

using namespace std;

int n;
long long ans=0;
long long a[MAX_N];
long long cnt[MAX_N];
long long c[MAX_N][MAX_N];
char s[MAX_N];

void read()
{
    scanf("%s",s+1);
    n=strlen(s+1);
    for(int i=1;i<=n;i++) cnt[a[i]=s[i]-'0']++;
}

void cal_c()
{
    c[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
        }
    }
}

long long cal_p(int len)
{
    long long now=1;
    for(int i=0;i<=9;i++)
    {
        now*=c[len][cnt[i]];
        len-=cnt[i];
    }
    return now;
}

void cal_ans()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<a[i];j++)
        {
            cnt[j]--;
            ans+=cal_p(n-i);
            cnt[j]++;
        }
        cnt[a[i]]--;
    }
}

void work()
{
    cal_c();
    cal_ans();
    printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
    read();
    work();
}