BZOJ 1010 [HNOI2008]玩具装箱toy：斜率优化dp

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1010

题意：

　　有n条线段，长度分别为C[i]。

　　你需要将所有的线段分成若干组，每组中线段的编号必须连续。

　　然后每组中的线段接成一排，若线段的编号为i to j，则总长度X = j - i + ∑ C[i to j]。

　　对于每一个组，花费为(X - L)^2，其中L为给定常量。

　　问你最小总花费。

 

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i]表示已经将1 to i的线段分好组了，此时的最小总花费。

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n]

　　如何转移：

　　　　设s[i] = ∑ C[1 to i], L = L + 1.

　　　　dp[i] = min dp[j] + (s[i]-s[j]- L)^2  (0 <= j < i)

　　边界条件：

　　　　dp[0] = 0

　　斜率优化：

　　　　设j < k，且k的决策更优。

　　　　则：dp[j] + (s[i]-s[j]- L)^2 > dp[k] + (s[i]-s[k]- L)^2

　　　　整理得：(dp[k]+(s[k]+L)^2-dp[j]+(s[j]+L)^2) / (2*(s[k]-s[j])) < s[i]

　　　　所以slope(i,j) = (dp[i]+(s[i]+L)^2-dp[j]+(s[j]+L)^2) / (2*(s[i]-s[j]))

　　　　由于s[i]递增，所以单调队列维护下凸壳即可。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 50005

using namespace std;

int n,L;
int q[MAX_N];
long long s[MAX_N];
long long dp[MAX_N];

inline double slope(int i,int j)
{
    return (dp[i]+(s[i]+L)*(s[i]+L)-dp[j]-(s[j]+L)*(s[j]+L))/(2.0*(s[i]-s[j]));
}

int main()
{
    cin>>n>>L; L++;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
    for(int i=2;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=i;
    int l=1,r=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r && slope(q[l],q[l+1])<=s[i]) l++;
        dp[i]=dp[q[l]]+(s[i]-s[q[l]]-L)*(s[i]-s[q[l]]-L);
        while(l<r && slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
}