Codeforces 505C Mr. Kitayuta, the Treasure Hunter：dp【考虑可用范围】

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/505/C

题意：

　　有n个宝石，分别在位置p[i]。(1 <= n,p[i] <= 30000)

　　初始时你在位置0，第一次走可以往前跳d的距离。

　　从第二次跳开始，如果前一次跳的距离是x，这一次跳的距离只能是x-1,x,x+1中的一种。

　　没每跳到一个地方，会获得那里的所有宝石。

　　问你最多能拿到多少宝石。

 

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = max gems

　　　　表示初始在位置i，上一次跳的距离为j，在这以及之后所能拿到的最大价值。

 

　　找出答案：

　　　　ans = dp[d][d]

 

　　如何转移：

　　　　dp[i][j] = max dp[i+j-1][j-1]

　　　　dp[i][j] = max dp[i+j][j]

　　　　dp[i][j] = max dp[i+j+1][j+1]

　　　　然而O(N^2)过不了……

　　　　因为每次跳的距离最多变化1，所以当n=30000时，跳的距离变化小于250，需要用到的j∈[d-250, d+250]。

　　　　精确一些就是j∈[d-k, d+k]，其中k = ((sqrt(8n+1)-1)/2)+5。

　　　　将所有j映射到[0, 2k]的范围内，这样时间和空间就都能满足了。

 

　　边界条件：

　　　　if(i>maxd) dp[i][j] = 0

　　　　maxd是有宝石的最远距离。

　　　　当i>maxd时，之后不可能有任何收获。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <math.h>
#define MAX_N 30005
#define MAX_V 1005
#define cal(x) ((x)-d+k)

using namespace std;

int n,d,k;
int maxd=0;
int a[MAX_N];
int dp[MAX_N][MAX_V];

int dfs(int i,int j)
{
    if(i>maxd) return 0;
    if(dp[i][cal(j)]!=-1) return dp[i][cal(j)];
    if(j-1>0) dp[i][cal(j)]=max(dp[i][cal(j)],dfs(i+j-1,j-1)+a[i]);
    dp[i][cal(j)]=max(dp[i][cal(j)],dfs(i+j,j)+a[i]);
    dp[i][cal(j)]=max(dp[i][cal(j)],dfs(i+j+1,j+1)+a[i]);
    return dp[i][cal(j)];
}

int main()
{
    cin>>n>>d;
    memset(a,0,sizeof(a));
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x;
        a[x]++;
        maxd=max(maxd,x);
    }
    k=(int)((sqrt(n*8+1)-1.0)/2.0)+5;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    cout<<dfs(d,d)<<endl;
}