BZOJ 2058 [Usaco2010 Nov]Cow Photographs：逆序对【环上最小逆序对】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2058

题意：

　　给你一个由1~n组成的排列，首尾相接围成一个环。

　　你可以任意次交换其中两个相邻位置的数字。

　　最终你要让所有数字顺时针递增，只有n顺时针紧邻着1。

　　问你最小的交换次数。

 

题解：

　　举个例子。

　　有一个由1~5组成的环：2 3 1 4 5

　　对于这个环，最终答案有若干种情况：

　　　　（1）1 2 3 4 5

　　　　（2）2 3 4 5 1

　　　　（3）3 4 5 1 2

　　　　（4）4 5 1 2 3

　　　　（5）5 1 2 3 4

　　每一次变化，无非是分别将1~4移到了最右边。

　　对于从（1）到（2）的变化，其实就是将原环中的1改为了一个比其他都大的数字（比如6），然后求了一遍逆序对。

　　对应到最终结果中，也就是1变成了最右边的数。

 

　　所以变化之后的答案 = 上一次的答案 - 数字i所贡献的逆序对个数 + 改成的更大的数所贡献的逆序对个数

 

　　对于每一次将数字i改为更大的数时，i一定是当前环中最小的数字。

　　令pos[i]为数字i在原环中出现的位置(1 <= pos <= n)。

　　所以：

　　　　i贡献的逆序对 = pos[i] - 1

　　　　更大的数贡献的逆序对 = n - pos[i]

　　即：res = res - 2*pos[i] + 1 + n

　　

　　对于所有res取最小即可。

 

AC Code:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 100005
#define INF 1000000000

using namespace std;

int n;
int a[MAX_N];
int l[MAX_N];
int r[MAX_N];
int dat[MAX_N];
int pos[MAX_N];
long long ans=0;
long long res=0;

void read()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        pos[a[i]]=i;
    }
}

void merge(int lef,int mid,int rig)
{
    int n1=mid-lef+1;
    int n2=rig-mid;
    for(int i=0;i<n1;i++) l[i]=a[lef+i];
    for(int i=0;i<n2;i++) r[i]=a[mid+i+1];
    l[n1]=INF;
    r[n2]=INF;
    for(int i=0,j=0,k=lef;k<=rig;k++)
    {
        if(l[i]<r[j]) a[k]=l[i++];
        else
        {
            a[k]=r[j++];
            res+=n1-i;
        }
    }
}

void merge_sort(int lef,int rig)
{
    if(lef==rig) return;
    int mid=(lef+rig)/2;
    merge_sort(lef,mid);
    merge_sort(mid+1,rig);
    merge(lef,mid,rig);
}

void solve()
{
    merge_sort(1,n);
    ans=res;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        res=res-2*pos[i]+1+n;
        ans=min(ans,res);
    }
}

void print()
{
    cout<<ans<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}