BZOJ 2431 [HAOI2009]逆序对数列：dp 逆序对

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2431

题意：

　　给定n,k，问你有多少个由1~n组成的排列，使得逆序对个数恰好为k个。

 

题解：

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = num of sequences

　　　　i：已经用了1~i之间的数（在这一步放了数字i）

　　　　j：逆序对个数为j

 

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n][k]

 

　　如何转移：

　　　　在当前这一步要放数字i。

　　　　所以要将i插入一个由1~i-1组成的排列中。

　　　　若将i插入位置x(0 <= x <= i-1)，则新添的逆序对个数为x。

　　　　所以：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j-x]

　　　　即：

　　　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-1][j-i+1 to j]

　　　　由于裸dp复杂度为O(N^3) = O(10^9)，所以加一个前缀和优化。

 

　　边界条件：

　　　　dp[1][0] = 1

　　　　others = 0

 

AC Code:

 

// state expression:
// dp[i][j] = num of sequences
// i: considered number i
// j: there is j inversion pairs
//
// find the answer:
// ans = dp[n][k]
//
// transferring:
// dp[i][j] = sigma dp[i-1][j-i+1 to j]
//
// boundary:
// dp[1][0] = 1
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 1005
#define MAX_K 1005
#define MOD 10000

using namespace std;

int n,t;
int dp[MAX_N][MAX_K];
int sum[MAX_N][MAX_K];

void read()
{
    cin>>n>>t;
}

void update_sum(int i,int j,int a)
{
    if(j==0) sum[i][j]=a;
    else sum[i][j]=(sum[i][j-1]+a)%MOD;
}

int query_sum(int i,int x,int y)
{
    if(x==0) return sum[i][y];
    else return ((sum[i][y]-sum[i][x-1])%MOD+MOD)%MOD;
}

void solve()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    dp[1][0]=1;
    for(int i=0;i<=t;i++)
    {
        sum[1][i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=t;j++)
        {
            dp[i][j]=query_sum(i-1,max(0,j-i+1),j);
            update_sum(i,j,dp[i][j]);
        }
    }
}

void print()
{
    cout<<dp[n][t]<<endl;
}

int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}