LLRB——红黑树的现代实现
一、本文内容
以一种简明易懂的方式介绍红黑树背后的逻辑实现2-3-4树，以及红黑树的插入、删除操作，重点在2-3-4树与红黑树的对应关系上，并理清红黑树相关操作的来龙去脉。抛弃以往复杂的实现，而分析红黑树的一种简单实现LLRB。
二、算法应用
红黑树，给人以强烈的第一听觉冲击力——红与黑，好像很高端的感觉。事实上的确如此，红黑树是一种高级数据结构，在C++、Java的标准库里作为set、map的底层数据结构实现，以及linux中进程的公平调度。
三、2-3-4树
标题是红黑树，为什么讲2-3-4树？因为红黑树就是2-3-4树的一种等价形式，更准确地来说，我们用红黑树来完成2-3-4树的各种操作（如插入、删除）。原因就是2-3-4树的实现即维护太麻烦。所以理解2-3-4树才能真正理解红黑树。而历史就是这么发展的，了解过去，现在的一切才有了意义。算法导论关于红黑树这一节就忽略了这一点，让人知其然而不知其所以然。
OK，暂时先忽略复杂的红黑树，从简单的2-3-4树开始。
1、定义
2-3-4树是一种泛化的BST，它的每个结点允许1,2或者3个键(key)，那么对应的有三种结点：
2-node：一个key，两个孩子；
3-node：二个key，三个孩子；
4-node：三个key，四个孩子。
注：k-node表示有k个链接（link）。泛化的BST还有2-3树，B树等。
从图中可以看出2-3-4树的另一个性质：它是完全平衡的（等高），即从根结点到叶子结点距离相等。
2、插入操作
2-3-4树本身就是一种查找树（中序遍历有序），故其查找操作同二叉查找。
2-3-4树的插入操作类似二叉查找树，先是查找操作失败（从根结点查找到叶子结点），然后在底部的叶子结点插入。
因为2-3-4树的结点有三种类型，所以操作有点差异。对于2-node和3-node，分别直接插入可变成3-node，4-node；但是对于4-node若直接插入则违反了定义。在4-node插入之前，先分裂4-node成2个2-node，再将待插入的key插入对应的2-node。 如下图，H查找失败，在H插入4-node（由三个key F、G、J组成）之前，先对该4-node分裂（将三个key的中间值提上父节点，剩余的二个key分别作为中间key的左右孩子），然后再将H插入2-node J中。这样操作的结果是查找到达底部叶子结点时，始终是2-node或者3-node。
插入算法思想：自下而上的算法由原作者Bayer在1972年提出，自上而下的算法由Guibas-Sedgewick（红黑树这个名字来源于他们）在1978年提出，然后30年后也就是2008年Sedgewick教授又改进了红黑树的操作，也就是后面要介绍的LLRB。
自上而下的算法思路是，从根结点向下的查找过程中，遇到4-node就分裂，最后在底部的叶子结点插入。
那么为什么遇到4-node就分裂呢？4-node不是2-3-4树的一种合法结点类型吗？
答案可以从后面LLRB的算法思路可以得出。
因为遇到4-node就分裂就保证了当前结点不是4-node，则分裂孩子的4-node有两种情形：
分裂4-node的case 1
分裂4-node的case 2
注：上面的变换在树中任意位置都成立。
下面两张图是完整的插入过程（只有分裂结点类型为4-node的根结点才会导致树高增1）：
3、平衡性分析
2-3-4树的树高在最坏情况下为lgN（所有结点都是2-node型），最好情况下为lg4 N = 1/2 lgN（所有结点都是4-node型），2-3-4树的查找、插入操作都是lgN。
四、红黑树
终于到了高富帅——红黑树。。。
从2-3-4树的介绍可以看出，对2-node、3-node、4-node的不同数据类型进行转换，但所涉及的大部分任务使用这种直接的表示方法来实现并不方便。所以可以用
一种统一的方式完成转换，而只需很小的开销。这就是红黑树存在的意义，既有BST的标准搜索过程，又有2-3-4树的简单插入平衡过程。
下面介绍LLRB（Left-leaning red-black trees），而不是标准的红黑树。
1、定义
LLRB有三个特点：
（1）用BST来表示2-3-4树；
（2）用红边(红链接)来连接2-node来表示3-node和4-node（如下图）；
（3）3-node必须是向左倾斜的（两者的大者作为根）。
LLRB相对于标准的RB多了特点3，在标准的RB中右向倾斜的红链接是允许的。对于特点2，在物理上用一个bit（红或黑）来存储以表示指向该结点的红链接。
红链接来连接3-node或者4-node的内部key，而黑链接则连接外部的key；为了理解，可以消除红链接并将它们连接的结点都折叠起来（即将看做红链接连
接的点缩为一个点），则可以看出黑链接个数不变。
2-3-4树与红黑树是一一对应的关系
且上下关系中不允许2个连续的红边
由特点3可以推出LLRB的一个特性，红黑树与2-3-4树一一对应。
2、插入算法
同样地，在LLRB中查找操作同BST。
在插入之前要知道一个操作：旋转。它有两种情况：左旋，右旋。
左旋 右旋
插入算法思路：即前面介绍的2-3-4树
具体实现时，插入一个结点时，始终是红结点，即用红边链接该结点。对于2-node、3-node直接插入（k-node有k个插入点），如违反上面的左红链接和连续的红链接，则旋转作调整。对于4-node（左右都为红链接），先分裂，物理实现是一个翻转（左右红链接变黑，父链接变红）。
2-node插入的两种case
3-node插入的三种case
4-node分裂操作
由4-node的分裂可知黑高度不变，分裂操作即翻转在图片上对应为红链接向上传递。
在介绍2-3-4树时，4-node分裂操作有两种情况，4-node的parent是2-node和3-node；再结合k-node有k个插入点，则总共有6种情况。
4-node的分裂case 1
4-node的分裂case 2
看了上面两幅图后，也许会让人觉得红黑树太复杂了，这么多case，其实不然，在LLRB实现中只有两种操作：旋转、翻转。旋转的目的是保持平衡，翻转的目的是分裂4-node。
看了下面的LLRB插入算法，你就会明白上面4-node的翻转、旋转其实是分开的两个过程（翻转自上而下，旋转自下而上），只是为了统一这个完整的过程而画在了一起，才会有那么多case。
LLRB的插入算法：
首先结合2-3-4树的插入算法思路，先从上至下查找（遇到4-node则翻转），然后在底部叶子结点插入，因为在从上至下的过程中，可能会产生不满足LLRB的性质的情况，故插入结点后需要从下至上调整以恢复LLRB性质。
下图是插入算法的核心代码，第2是分裂即翻转，第1是插入操作，第3、4是调整。
从插入算法可以看出，如果自下而上再分裂4-node，则会出现它的parent也可能是4-node，祖父结点也可能是4-node；我们可以一直向上分裂，这也正是上面提到的自上而下的思路；而更简单的方法是，在沿树向下的过程中，遇到4-node就分裂，这也正是自上而下与自下而上的区别。
插入算法的核心代码
上图的核心代码按照从上而下和从下而上的顺序放入BST的插入（递归版本）操作中即得到下图的完整的插入算法。
注：分裂（即翻转）是自上而下，所以放在递归之前；调整（即旋转）是自上而下，所以放在递归之后。
完整的插入代码
如果将分裂操作放到递归之后，也就是先自上而下查找，插入结点，然后自下而上调整也可同样完成插入操作而不破坏LLRB的性质。
2-3树的插入操作
其实上述描述的就是2-3树的插入操作，它与2-3-4树的插入的区别在于：2-3树先插入，再分裂（down）、调整（up）；2-3-4树先分裂（down），再插入、调整（up）。又因为插入总是在最后一层进行，故翻转的位置决定了对应树的实现。
这也是为什么2-3-4树叫top-down，而2-3树叫bottom-up。
3、删除算法
LLRB的删除类似于插入，只不过处理刚好相反。插入、删除都有临界点：插入4-node，删除2-node，对临界点的操作都会引起突变，因为它们会破坏LLRB的性质(黑高度)。
所以同插入一样，先从上至下查找，如果查找在3-node或4-node结束，则直接删除；
3-node和4-node的删除
对于2-node的删除同4-node的插入相反，2-node的删除是先合并2个2-node为1个4-node，然后再安全地删除对应的2-node中的key。
同样地，因为parent不为2-node（遇到即合并），再结合兄弟结点的2、3、4-node，则删除总共有6种情况。同样，实际的删除实现也
没这么复杂。
2-node的删除
在介绍删除任意一个结点时，先分析删除树中最小的结点。因为它是删除任意结点的一部分，后面可以看出来。
首先，为了保证可以直接删除最小的某个结点，需要假设当前结点h或者h.left是红色链。
然后从上而下查找过程中，2个2-node要变为1个4-node，则需反向翻转（红色父链接变黑，黑色子链接变红），
为了将红链从上向左子树传递（删除红结点，不改变黑高度），需保证h为红，h.left和h.left.left为黑；
当h.left和h.left.left都为黑时，
如果h.right.left为红，则要从右边借兄弟（下图case 2），如果h.right.left为黑，则不需要（下图case1）。
注：在翻转的同时，右子树可能会产生连续的红链，则需调整。
case 1
case 2
红链向左移动 红链向左移动对应的example
deleteMin的实现
deleteMin的example
完成了deleteMin就完成了LLRB的删除操作的一大半。现在是删除LLRB的任意一个key，
自上而下查找过程中，左边查找用moveRedLeft；右边查找用moveRedRight；直到最后的底部叶子结点，直接删除即可；同样，自下而上调整。
怎样将delete操作归约到delteMin去呢？算法导论提供的一个技巧是：replace，deleteMin（即用后继的key代替当前的key，再删除右孩子的最小结点）。
删除技巧
完整删除代码
参考：
《算法导论》
《algorithm in c》
PS：9.9忆山东兄弟，必登高望远，一览纵山小。
分类: 数据结构&算法
