Spfa
Spfa
\(Spfa\) 算法的全称是： \(Shortest\) \(Path\) \(Faster\) \(Algorithm\) ，是 \(Bellman-Ford\) 算法的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。
基本原理
设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点 \(u\)，并且用结点 \(u\) 当前的最短路径估计值对离开结点 \(u\) 所指向的结点 \(v\) 进行松弛操作，即判断是否有 \(dis[v] \gt dis[u]+w\)（\(w\) 是连接 \(u\) 与 \(v\) 的边的长度），若有，则更新 \(dis[v]\)。如果结点 \(v\) 的最短路径估计值有所调整，且结点 \(v\) 不在当前的队列中，就将结点 \(v\) 放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。
\(Spfa\) 在形式上和 \(Bfs\) 非常类似，不同的是 \(Bfs\) 中一个结点出了队列就不可能重新进入队列，但是 \(Spfa\) 中一个结点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个结点改进过其它的结点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次将其加入队列，再次用来改进其它的结点。
每次将结点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个结点 \(v\) 的最短路径估计值 \(dis[v]\) 变小。所以算法的执行会使 \(dis\) 越来越小。若图中不存在负权环，则每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着 \(dis\) 值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
如果一个结点进入队列达到 \(n\) 次，则表明图中存在负权环，没有最短路径。
效率分析
在随机图中， \(Spfa\) 的期望时间复杂度为 \(O(KE)\) ，其中 \(K\) 是常数，代表所有结点的平均入队次数（一般 \(K \leqslant 2\) ）， \(E\) 是边数。但往往因为出题人所造的毒瘤数据而被卡，导致复杂度退化为 \(O(VE)\) ，其中 \(V\) 是结点数。
核心代码
ll n,m,s,cnt,head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct Edge{ll u,v,w,next;}edge[maxm];
inline void add(ll u,ll v,ll w) /*链式前向星存图*/
{
edge[++cnt].u=u;
edge[cnt].v=v;
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
inline void Spfa()
{
queue<ll>q;
for(ll i=1;i<=n;i++)
dis[i]=INF,vis[i]=0; /*初始距离置为INF,访问标记置为0*/
dis[s]=0;
q.push(s); /*源点入队*/
vis[s]=1;
while(!q.empty())
{
ll u=q.front(); /*队首元素出队*/
q.pop();
vis[u]=0;
for(ll i=head[u];i;i=edge[i].next) /*寻找与所有以队首 u 为起点的边*/
{
ll v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w)
{
dis[v]=dis[u]+w; /*松弛操作*/
if(!vis[v]) /*若终点 v 不在队列中*/
{
q.push(v); /*入队*/
vis[v]=1;
}
}
}
}
}
例题解析
洛谷 P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）
给出一个有向图 \(G＝＜V,E＞\) ，一个源点 \(S\) ，求点 \(S\) 到图中所有点的最短距离。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 10005
#define maxm 500005
#define INF 2147483647
template<class T>inline bool read(T &x)
{
x=0;register char c=getchar();register bool f=0;
while(!isdigit(c)){if(c==EOF)return false;f^=c=='-',c=getchar();}
while(isdigit(c))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
if(f)x=-x;
return true;
}
template<class T>inline void print(T x)
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)print(x/10);
putchar(x%10^48);
}
template<class T>inline void print(T x,char c){print(x),putchar(c);}
template<class T,class ...S>inline bool read(T &x,S &...y){return read(x)&&read(y...);}
ll n,m,s,cnt,head[maxn],dis[maxn];
bool vis[maxn];
struct Edge{ll u,v,w,next;}edge[maxm];
inline void add(ll u,ll v,ll w)
{
edge[++cnt].u=u;
edge[cnt].v=v;
edge[cnt].w=w;
edge[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
inline void Spfa()
{
queue<ll>q;
for(ll i=1;i<=n;i++)
dis[i]=INF,vis[i]=0;
dis[s]=0;
q.push(s);
vis[s]=1;
while(!q.empty())
{
ll u=q.front();
q.pop();
vis[u]=0;
for(ll i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
ll v=edge[i].v,w=edge[i].w;
if(dis[v]>dis[u]+w)
{
dis[v]=dis[u]+w;
if(!vis[v])
{
q.push(v);
vis[v]=1;
}
}
}
}
}
int main()
{
read(n,m,s);
ll u,v,w;
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
read(u,v,w);
add(u,v,w);
}
Spfa();
for(ll i=1;i<n;i++)print(dis[i],' ');
print(dis[n],'\n');
return 0;
}
