傅立叶变换及其性质

傅立叶级数:

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示

\[f(t) = a_{0} + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_{n}cos(nw_{0}t)+b_{n}sin(nw_{0}t) \]

傅立叶变换:

傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式,同时也适用于非周期性现象的分析。

⚠️对于定义域为负无穷到正无穷的非周期函数，其经过傅立叶变换后频谱是连续谱

即一个复杂的非周期函数可以表示成不同频率的余弦和正弦之和

非周期函数也可以用正弦和余弦乘以加权函数的积分表示

利用傅立叶变换可以得到图像的频谱

连续傅立叶变换

一维函数的傅立叶变换

正变换:

一个一维函数的傅立叶变换表示为\(F(u)\)，其中\(u\)表示频率

\[F(u) = \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)e^{-i2 \pi ux}dx \]

这里的\(e^{-i2 \pi ux}\)为欧拉公式运用的结果

欧拉公式:\(e^{i\theta} = cos\theta + i·sin\theta\)

反变换:

\[f(x) = \displaystyle \int^{+\infty}_{-\infty}F(u)e^{j2 \pi ux}du \]

其中\(F(u)\)可以表示成\(F(u) = R(u)+iI(u)\)或\(F(u) = |F(u)|e^{j\theta(u)}\)

\(R(u)\)即为\(Real[F(u)]\)取\(F(u)\)的实部

\(I(u)\)即为\(Imaginary Part[F(u)]\)取\(F(u)\)的虚部

\(\theta(u)\)为相位角\(\theta(u) = arctan[\frac{I(u)}{R(u)}]\)

\(|F(u)|\)为幅度谱\(|F(u)| = \sqrt{R^{2}(u)+I^{2}(u)}\)

🏷️Tips:

• 在频率域图像处理过程中，通常只关注幅度谱

二维连续傅立叶变换

正变换:

\[F(u,v) = \displaystyle \iint^{+\infty}_{-\infty}{f(x,y)e^{-j2 \pi (ux+vy)}dxdy} \]

反变换:

\[f(x,y) = \displaystyle \iint^{+\infty}_{-\infty}{F(u,v)e^{j2 \pi (ux+vy)}dudv} \]

离散傅立叶变换（DFD）

计算机中计算过程中使用的傅立叶变换为离散傅立叶变换

• 数学中的傅立叶变换的\(f(x)\)连续信号，而计算机处理的是数字离散信号

• 计算机只能进行有限次计算

一维离散傅立叶变换

正变换:

\[F(u) = \frac{1}{N} \displaystyle \sum_{x=0}^{N-1}{f(x)e^{-i2 \pi ux/N}} \quad , \quad u=0,1,...,N-1 \]

反变换:

\[f(x) = \displaystyle \sum_{u=0}^{N-1}{F(u)e^{i2 \pi ux/N}} \quad , \quad x=0,1,...,N-1 \]

二维离散傅立叶变换

正变换:

\[F(u,v) = \frac{1}{MN} \displaystyle \sum_{x=0}^{M-1} { \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}{f(x,y)e^{-i(\frac{2 \pi}{M})ux}e^{-i(\frac{2 \pi}{N})vy}}} \quad , \quad u=0,1,...,M-1 ,\quad v=0,1,...,N-1 \]

反变换:

\[f(x,y) = \displaystyle \sum_{u=0}^{M-1} { \displaystyle \sum_{v=0}^{N-1}{F(u,v)e^{i(\frac{2 \pi}{M})ux}e^{i(\frac{2 \pi}{N})vy}}} \quad , \quad x=0,1,...,M-1 \quad,\quad y =0,1,...,N-1 \]

若M=N，则有正变换:

\[F(u,v) = \frac{1}{N^2} \displaystyle \sum_{x=0}^{N-1} { \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}{f(x,y)e^{-i2 \pi (ux+vy)/N}}} \]

图像傅立叶变换

将空间域问题变换为频率域问题进行研究

图像的幅度：某种频率的多少

图像的相位角：频率成分在图像的位置

\[F(u,v) = \frac{1}{MN} \displaystyle \sum_{x=0}^{M-1} { \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}{f(x,y)e^{-i(\frac{2 \pi}{M})ux}e^{-i(\frac{2 \pi}{N})vy}}} \quad , \quad u=0,1,...,M-1 ,\quad v=0,1,...,N-1 \]

傅立叶变换的性质

\[f(x,y) \Leftarrow \Rightarrow F(u.v) \quad , \quad M=N \]

\[F(u,v) = \frac{1}{N^2} \displaystyle \sum_{x=0}^{N-1} { \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}{f(x,y)e^{-i2 \pi (ux+vy)/N}}} \]

性质：

1. 平移性（相位角改变，幅度不变）

   \[f(x-c,y-d) \Leftarrow \Rightarrow F(u,v)e^{-i2 \pi (cu+dv)/N} \]
   \[f(x,y)e^{i2 \pi (cx+vy)/N} \Leftarrow \Rightarrow F(u-c,v-d) \]

   🌟空间域的平移不影响频率域的幅度

   思考：How to move the origin of image spectrum from the point (0,0) to the center

   point (N/ 2, N/2)? Write the derivation process。

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   如何将图像频谱的原点从初始点(0,0)移到图像中心点(N/2,N/2)?

   由离散傅立叶变换的平移性，得\(F(u-c,v-d) \Leftarrow \Rightarrow f(x,y)e^{\frac{-j2 \pi (cx+dy)}{N}}\)

   所以，将频谱原点移动到\((\frac{N}{2},\frac{N}{2})\)，等同于式子\(F(u-\frac{N}{2},v-\frac{N}{2}) = f(x,y)e^{i \pi (x+y)}\)

   即用\(e^{i \pi (x+y)}\)乘以\(f(x,y)\)，求乘积到傅立叶变换，即可将频率域原点从\((0,0)\)平移到\((\frac{N}{2},\frac{N}{2})\)

2. 可分离性

   正变换:

   \[\begin{align} F(u,v) & = \frac{1}{N^2} \displaystyle \sum_{x=0}^{N-1} { \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}{f(x,y)e^{-i2 \pi (ux+vy)/N}}} \\ &=\Big( \frac{1}{N} \displaystyle \sum_{x=0}^{N-1}e^{-\imath 2 \pi ux/N} \Big)·\Big( \frac{1}{N} \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-i2 \pi vy/N} \Big) \\ & = \frac{1}{N} \displaystyle \sum_{x=0}^{N-1}F(x,v)e^{-i2 \pi ux/N} \end{align} \]

   其中\(F(x,v) = \frac{1}{N} \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}{f(x,y)e^{i2 \pi vy /N}}\)

    > 二维离散傅立叶变换可以分离为两个一维离散傅立叶变换
    >
    > 上述式子即为先按行DFT，再按列DFT后到结果
   

   反变换：

   \[\begin{align} f(x,y) & = \displaystyle \sum_{u=0}^{N-1} \displaystyle \sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{i2 \pi (\frac{ux+vy}{N})} \\ &= \displaystyle \sum_{u=0}^{N-1} \Big[ \big[ \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{i2 \pi vy/N} \big] e^{i2 \pi ux/N} \Big] \\ & = \displaystyle \sum_{u=0}^{N-1}f(u,y)e^{i2 \pi ux/N} \end{align} \]

3. 周期性与共轭对称性

   二维傅立叶变换及其反变换在u,v方向是无限周期的（周期为M,N）

   \[F(u,v) = F(u+mN,v+nN) \]
   \[f(x,y) = f(x+mN,y+nN) \]
   \[m,n = 0, \pm1, \pm 2, \ldots \]

   若f(x,y)是实函数，则傅立叶变换是共轭对称的

   \[F^{\ast}(u,v) = F(-u,-v) \quad \Rightarrow \quad 若F^{\ast}(u,v)=a+\imath b,则F(-u,-v) = a- \imath b \]
   \[|F(u,v)| = |F(-u,-v)| \]

4. 旋转性

   使用极坐标表示x,y与u,v

   \[设 \quad x = rcos\theta \quad , \quad y = rsin\theta \\ u = wcos\phi \quad , \quad v = sin\phi \]
   \[则有 \quad f(r,\theta+\theta_{0}) \quad \Leftarrow \Rightarrow \quad F(w, \phi+\theta_{0}) \]

   若空间域f旋转一定角度

   则其对应的频率域F也旋转相同的角度

5. 尺度定理

   \[f(ax,by) \quad \Leftarrow \Rightarrow \quad \frac{1}{|ab|}F(\frac{u}{a},\frac{v}{b}) \]

   若\(f(x,y)\)收缩\((a>1,b>1)\),则导致\(F(u,v)\)膨胀，且\(F(u,v)\)幅度减小

   若\(f(x,y)\)膨胀\((a<1,b<1)\), 则导致\(F(u,v)\)收缩，且\(F(u,v)\)幅度变大

6. 线性可加性

   \[F\big[af_{1}(x,y)+bf_{2}(x,y)\big] = aF\big[f_1(x,y)\big] + bF \big[f_2(x,y) \big] \]

   \(f_1,f_2\)和的傅立叶变换为其各自傅立叶变换的和

   ⚠️\(F\big[f_{1}(x,y)\cdot f_{2}(x,y)\big] \neq F\big[f_1(x,y)\big] \cdot F\big[f_2(x,y)\big]\)

7. 平均值定理

   \[\overline{f(x,y)} = \frac{1}{N^2} \displaystyle \sum_{x=0}^{N-1} \displaystyle \sum_{y=0}^{N-1}f(x,y) \quad \Rightarrow \quad \overline{f(x,y)} = F(0,0) \]

   \(F(0,0)\)称为傅立叶变换的直流分量

8. 卷积定理

   假设\(f(x,y),h(x,y)\)都是\(M \times N\)的离散函数，且\(f(x,y) \Leftarrow DFT \Rightarrow F(u,v) \quad , \quad h(x,y) \Leftarrow DFT \Rightarrow H(u,v)\)

   则，卷积定理为

   \[f(x,y) \ast h(x,y) \Leftarrow DFT \Rightarrow F(u,v)H(u,v) \]
   \[f(x,y)h(x,y) \Leftarrow DFT \Rightarrow F(u,v) \ast H(u,v) \]

   \(“\ast”\)表示卷积

   上述式子表示，两个函数在空间域卷积的傅立叶变换为其进行傅立叶变换后的乘积

   同理，空间域函数的乘积为频率域函数的卷积

   空域滤波公式：

   \[f(x,y) \ast h(x,y) = \displaystyle \sum_{m=0}^{M-1} \displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} f(m,n)h(x-m,y-n) \]

   卷积定理与空域滤波公式类似

   ⚠️空域滤波的卷积处理，映射频率滤波的函数乘积

   可知，将空域复杂的卷积计算转化为频域简单的乘积可以简化计算复杂度