AI 小波变换

简介

法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出

小波变换与FT相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析，解决了FT不能解决的许多困难问题。

傅立叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是把这个波形分解成不同频率的正弦波的叠加和。傅立叶变换用在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，把周期函数展成傅立叶级数，把非周期函数展成傅立叶积分，利用傅立叶变换对函数作频谱分析，反映了整个信号的时间频谱特性，较好地揭示了平稳信号的特征。傅立叶变换的缺陷，由于正弦波是无限宽度的，这使得被分析的信号也需要具有从负无穷大到正无穷大都有意义的特性，所以傅立叶变换不能很好的处理一些局部信号。比如，一个在局部范围内有非0值而其余所有地方都等于0的函数，它的频谱会呈现出一幅相当混乱的状况。这时，频域的信号反而不如时域的直观，频谱分析变得很艰难。

 

为了克服傅立叶变换的这些缺陷，数学家和工程师们已经开发出若干种使用有限宽度基函数进行变换的方法。这些基函数不仅在频率上而且在位置上是变化的，这些有限宽度的波被称为“小波”（Wavelet）。基于它们的变换被称为“小波变换”（Wavelet transforms）。小波变换是一种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。它的主要特点是通过变换能够充分突出问题某些方面的特征。

 

现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

小波应用包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

    (1)小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。

    (2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

    (3)在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。

 

小波定义：

Ø“小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具有正负交替的波动性，直流分量为0。

Ø小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。

 

 用镜头观察目标f(t) (待分析信号)。

 Ψ(t)   代表镜头所起的作用(如滤波或卷积)。

 b 相当于使镜头相对于目标平行移动。

 a 的作用相当于镜头向目标推进或远离。 

尺度因子 a 的作用是将基本小波  Ψ(t)   做伸缩，  a  越大    Ψ(t/a)  越宽

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