NOIP2024集训Day43 博弈论

怎么说，这些题就是想得出来就想得出来，想不出来就是想不出来

A. [ABC261Ex] Game on Graph

假设图是一个有向无环图，那么直接 DAG 上 dp 即可。轮到 Alice 时在所有后继节点中取最小值，轮到 Bob 时在所有后继节点中取最大值。

考虑有环。有环的 min/max dp 的经典解法是跑最短路，把无后继的节点入堆，建反图，跑 Dijkstra 就好了。

但是这个 dp 有时候取最大值，有时候取最小值，感觉比较难处理。

如果轮到 Alice，直接取最小值。因为 Dijkstra 用小根堆，所以 Alice 的 dp 值直接跑 Dijkstra 是正确的。

如果轮到 Bob，则要所有的后继节点更新后，才可以更新 Bob 的值。而且他是希望在博弈中跑出死循环的，所以如果不是所有的后继节点都更新得到，他就不更新。我们可以使用类似拓扑的方式处理。记录入度，松弛时入度减一。

B. [AGC048D] Pocky Games

先说结论：A、B两人每次要么取一个，要么全部取完。

感性证明一下：

如果某一方对应的那堆石子大于其余的之和，那么其必胜，否则他会弃掉这堆去抢后面的。

但是如果直接弃掉的话可能会输，所以要先一个一个的拿来拖延对面的时间，等时机到了就全部丢掉。

于是有：设 $f_{i, j, k}$ 表示 $[i, j]$ 内 A 先手，第 $i$ 堆是 $k$ 是否能获胜。

发现当 $x$ 能获胜时， $y \geq x$ 的 $y$ 也能获胜，所以改成 $f_{i, j}$ 表示最小获胜的 $a_{i}$ ， $g_{i, j}$ 反之。

考虑 A 的策略，假设求的是 $f_{i, j}$ 。

A 一开始会一个一个的丢，B 为了让 A 剩下的尽量少也会一个一个的丢，直到 $a_{j} = g_{i + 1, j}$ 之时，如果这时 B 继续丢，那么 A 可以直接丢掉 $a_{i}$ 然后 B 就输了。

所以 B 会在 $a_{j} = g_{i + 1, j}$ 的时候丢掉 $a_{j}$ ，然后变成 $f_{i, j - 1}$ 的情况，如果这时 $a_{i} \geq f_{i, j - 1}$ 就可以赢。

复杂度 $Θ (T \cdot n^{2})$ 。

F. 多边形之战

如果这个三角形三个顶点相邻，则先手必胜（第一刀就可以切）

否则当黑色三角形只有一边与白色三角形相邻时才可以被切，显然那个白色三角形是最后一个白色三角形

于是转化为：有 $n$ 个石子，一次只能取一个，问取最后一个的人是谁

做完了。

G. [BZOJ2463 中山市选2009] 谁能赢呢？

先说结论： $n$ 为偶数则 Alice，为奇数则 Bob。

证明：以 $n$ 为奇数为例，去掉起始点还剩下偶数个点，一定存在一种方法能将剩下的偶数个点分成若干个 $1 \times 2$ 的长方形。

那么对于每一轮操作，只要先手能走即先手能找到一个 $1 \times 2$ 的长方形，那么后手就一定能从长方形的这一端走到那一端。

所以只要先手能走后手一定能走，后手必胜。

对于 $n$ 为偶数的情况同理。

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本文作者：Leirt_Abu

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posted @ 2024-10-04 18:56 Leirt_Abu 阅读(12) 评论(0) 编辑收藏举报

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