摘要：
第六章 线性方程与最大公因数书上有一段是这样写的：本章就是要研究与方程 ax + by = gcd(a,b) 有关的性质和结论。解法，用欧几里德算法，也就是5.1介绍的算法。数论，都是研究整数范围之内的东西，既然是讨论整数解的问题，那么就会先考虑在何种情况下有解，在何种情况下无解。所以这里也是一样，研究的是线性方程和整数解的关系。ax + by = gcd(a,b)这个其实是特殊的形式，解法用的是欧几里德算法。对于一般形式如果对于一般形式：ax+by=c，我们可以在左边提出公因式gcd(a,b)，那么得到也就是说，左边能保证是一个整数，因为x和y是我们要求的整数解，而显然有gcd(a,b)|a 阅读全文
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这章讲的是 整除性与最大公因数，这里讲到了求解两个数的最大公因数，是的，就是“欧几里德算法” 其实也就是高中时候学过的 “辗转相除法”。gcd A=BxQ +R；gcd(a, b) 的性质：定理：如果a，b是不全为0的任意整数，则gcd(a, b)是a与b的线性组合{ax+by:x,y∈Z}中的最小正元素。推论1：对于任意整数a，b，如果d|a并且d|b，则d|gcd(a, b)。推论2：对于所有整数a和b以及任意非负整数n，gcd(an, bn)=n*gcd(a,b)。推论3：对所有正整数n，a和b，如果n|ab并且gcd(a, n)=1，则n|b。互质数：如果两个整数a与b只有公因数1，即 阅读全文
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第四章介绍了高次幂之和和费马大定理费马大定理：n>2是整数，则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程，它已经由英国数学家怀尔斯证明了(1995年)，证明的过程是相当艰深的！也就是说除了勾股数组那样的2次幂，再高次就找不到整数解了。 1 对数论的贡献 2 17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书。l621年费马在巴黎买到此书，他利用业余时间对书中的不定方程进行了深入研究。费马将不定方程的研究限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支。 3 费马在数论领域中的成果是巨大的，其中主要有： 4 费马大定理：n>2是整数，则方程x^ 阅读全文
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今天看第三章，勾股数组与单位圆。渐渐的对勾股数组有了一定的了解，本章的内容不多，讲的主要是单位圆上的有理数满足勾股数组的条件。给出了定理3.1本章讨论的是勾股数组与单位圆的关系，其实在这之前我一直没有考虑过关于勾股数的公式可以通过几何形式来推出，甚至没有想过勾股数可以用某种公式来表示，这就是平常缺少探索精神的表现吧。 如何将勾股数组和单位圆扯上关系呢？将a^2+b^2=c^2变形，得到(a/c)^2+(b/c)^2=1，如果把a/c看成x，b/c看成y，那么显然有x^2+y^2=1，这不就是单位圆的方程么。 那么如何通过单位圆来求勾股数组呢？试想，如果在圆上可以取到一点他的横坐标和纵坐标都是有 阅读全文