bzoj4766 文艺计算姬（完全二分图生成树计数）和一个拓展结论

A点集有$n$个点，B点集有$m$个点
考虑一棵生成树的prufer序列生成过程，最后剩下的两个点一定是一个在A点集，一个在B点集，也就是说$n-1$个A点集的点要被删去，$m-1$个B点集的点要被删去，prufer序列中要有$n-1$个B点集的点，$m-1$个A点集的点。
考虑对于一个长度为$m-1$的A点集中点的序列，和一个长度为$n-1$的B点集中点的序列，如何归并成一个点集内部没有边的合法prufer序列？考虑prufer序列的过程，每次要将prufer序列当前第一个点和未出现点集中标号最小的点连一条边，那么每次连边时，这个未出现点集中标号最小的点是固定的，要选择他另外一边的点集对应序列的最靠前的点加入prufer序列。而最后未出现点集中剩余的两个点正好就是最后留下的两个点，一定合法。
所以每一对这样的合法序列唯一对应一个合法的prufer序列，所以合法的生成树个数就是$n^{m-1}m^{n-1}$

另外一个例子：$n$个点的有标号无向图，定义两个图本质不同为存在一对点$(x,y)$，在一个图中点双联通，在另外一个图中不点双联通，求本质不同的无向图个数。
转化为$n$个圆点，圆点有标号，方点无标号的圆方树计数。
由于和方点有边的点都是圆点，所以不存在等效的方点，所以可以先算所有点都有标号的个数，再除以方点个数的阶乘。
圆点和方点自然符合二分图染色，可以看作是左侧$n$个点，右侧有一些方点，这样一个完全二分图的生成树个数计数。设有$m$个点双。
考虑到还有限制方点不可以是叶子，那么在prufer序列中，每个右侧点至少出现一次。那么右侧点这部分prufer序列的要求相当于是有$n-1$个位置，每个位置放一个方点，每个方点至少放一次，方点无序，位置有序。这就是第二类斯特林数的定义。所以有$m$个方点的情况，答案是$n^{m-1}\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}$。所以这个题答案就是

$$\sum\limits_{i=1}^{n-1}n^{i-1}\begin{Bmatrix}n-1\\i\end{Bmatrix}$$

其实是一个被毙掉的cf题，因为能被oeis到