度量函数

 

度量函数的使用有两个目的， 其一是使目标函数下降， 其二是使迭代点越来越接近可行域。于是， 构造一个既包含目标函数， 又包含约束函数在内的辅助函数用来进行搜索，即度量函数，也称效益函数。常用的度量函数有两种。

一种是韩建议使用$l_1$精确罚函数

$$W(x, \mu)=f(x)+\sum_{i\in E}\mu_i|c_i(x)|+\sum_{i \in I}\mu_i max{0, -c_i(x)}$$作为度量函数， 其中$\mu_i$是罚因子。

Schittkowski 提出用增广Largrange函数
$$\Phi(x, v, r)=f(x)-\sum_{j \in J(x, v)}(v_jc_j(x)-\frac{1}{2}r_jc_j(x)^2)-\frac{1}{2}\sum_{j \in K(x, v}v_j^2/r_j$$
作为度量函数， 其中 $J(x, v)=E \uion{j\in I: c_j(x)<=v_j/r_j}, K(x, v)={j\in I: c_j(x)>v_j/r_j}$
精确罚函数形式简单， 但是非光滑， 增广Lagrange函数是光滑的， 数值计算结果较好。