剪绳子(一个整数划分)问题的解决思路

题目描述：

      有一根长度为_{n的绳子， 现要将绳子剪成整数长的m段(m,n都是整数, n>1并且m>1), 每段绳子的长度记为k[0], k[1], ...,k[m]. 问k[0]*k[1]*...*k[m]可能的最大乘积是多少？例如， 当绳子的长度是8时, 把它剪成长度分别为2，3， 3的三段， 此时得到的最大乘积是18.}

分析思路：

    1. 确定k[i]的范围。

     假如k[i]=1, 此时k[0]*k[1]*...*k[i]*k[m]=k[0]*k[1]*...*k[m] 显然要小于 k[0]*k[1]*...*(k[i]+k[m])=k[0]*k[1]*...*k[m]+k[0]*k[1]*...*k[i]， 即k[0]， k[1]，...，k[i]，k[m]的乘积小于k[0]， k[1]，...，(k[i]+k[m])的乘积， 所以k[i]不应取1,应尽量取大于1的数， 但是若n=2, 要满足m>1,此时只能剪成1，1的两段；若n=3， 则只能剪成1， 2的两段。

      假如k[i]>=5， 如k[i]=5, 此时k[0]*k[1]*...*k[i]*k[m]=k[0]*k[1]*...*5*k[m]显然要小于k[0]*k[1]*...*(2+3)*k[m]=k[0]*k[1]*....*6*k[m], 通过不等式x^2+x>2x+1知对与任意的x>5， 总是可以将x至少分成两个数x1, x2使 x1*x2>x.

     当k[i]=4， 此时将k[i]分成2, 2则最终的结果相等。

     综上述， k[i]的取值只能在{1, 2, 3}中选取出来。

   2. 问题解决方法：

     定义线段n的剪切方法为split(n), 于是原问题可以通过比较max(2, split(n-2))和max(3, split(n-3))得到。