[网络流24题]最小路径覆盖问题

 

题目描述

对于一个路径覆盖会有两个性质：

1.每个点属于且只属于一条路径；

2.在每条路径中，除终点外，每个点只有一条边可以通向路径中的另外一个点。

所以可以把每个点拆成两个点，一个是起始点，一个是目标点，建立二分图模型。

二分图中的任何一种匹配都对应着一种路径覆盖方案。

若匹配数为零，那么路径数=总点数，每增加一个匹配，就会减少一条路径，所以有

　　　　　　　　最小路径覆盖数=总点数-最大匹配数

再在匹配过程中记录路径最后输出即可。

#include<complex>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=401,M=6007;
struct node{
    int v,f,nxt;
}e[M<<1];
int n,m,Enum=1,s,t,ans;
int front[N],cur[N],deep[N],path[N];
int q[N];
bool vis[N];
int qread()
{
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x;
}
void Insert(int u,int v)
{
    e[++Enum].v=v;e[Enum].f=1;e[Enum].nxt=front[u];front[u]=Enum;
    e[++Enum].v=u;e[Enum].nxt=front[v];front[v]=Enum;
}
bool bfs()
{
    for(int i=0;i<=t;i++)
    {
        deep[i]=0;
        cur[i]=front[i];
    }
    int head=1,tail=0,u,v;
    deep[s]=1;q[++tail]=s;
    while(head<=tail)
    {
        u=q[head++];
        for(int i=front[u];i;i=e[i].nxt)
        {
            v=e[i].v;
            if(!deep[v] && e[i].f)
            {
                deep[v]=deep[u]+1;
                if(v==t)return 1;
                q[++tail]=v;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dfs(int x,int cur_flow)
{
    if(x==t)return cur_flow;
    int rest=cur_flow,v;
    for(int &i=cur[x];i;i=e[i].nxt)
    {
        v=e[i].v;
        if(deep[v]==deep[x]+1 && e[i].f && rest)
        {
            int new_flow=dfs(v,min(e[i].f,rest));
            e[i].f-=new_flow;
            e[i^1].f+=new_flow;
            rest-=new_flow;
            if(new_flow)path[x]=v-n;
            if(!rest)return cur_flow;
        }
    }
    deep[x]=0;
    return cur_flow-rest;
}
void Dinic()
{
    while(bfs())
        ans+=dfs(s,INF);
}
void print(int x)
{
    if(!x)return;
    printf("%d ",x);
    vis[x]=1;
    print(path[x]);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    s=0;t=n+n+1;
    int u,v;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        u=qread();v=qread();
        Insert(u,v+n);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        Insert(s,i);
        Insert(i+n,t);
    }
    Dinic();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i])
        {
            print(i);
            puts("");
        }
    printf("%d\n",n-ans);
    return 0;
}