CF786B Legacy 题解

题意

洛谷题面传送门

现有一个图，有 $n$ 个节点，从节点 $s$ 出发，求到 $n$ 个点每一个点的最短路。

其中，有三种建边方式 ：

• 建一条从 $u$ 到 $v$ 的单向边。

• 从节点 $v$ 分别向 $[l,r]$ 的每个结点连一条边。

• 从节点 $[l,r]$ 向节点 $v$ 连边

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芝士

线段树优化 $dijstra$

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思路

观察数据范围，发现如果全部按照普通 $dijstra$ 的建图方法来做的话，会TLE。

因此，可以发现需要优化建图，而通读了题面，发现恰好是区间的操作使得我们的时间不够用，于是可以想到用线段树优化 $dijstra$ 。

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具体实现

1. 建树

• 在使用线段树优化 $dijstra$ 时，需要两个树，一个是出，一个是入，所以每一条边都应为单向边。

• 其中每一个树上的每一条边的边权都为 $0$ 。

• 应在两棵树上节点序号相同的两个点之间连一条边权为 $0$ 双向边，因为这两个点本来就是同一个（或是一些）星球。

• 在我的做法中我将两个线段树都放入了一个数组中，并将 $K$ （常量，根据数据范围算出）表示为一颗线段树最大的大小，因此，上文中两棵树上相同序号的点在我的写法中分别为 $i$ 与 $i+K$ 。

• 需要在建树时预处理出所有单个星球在线段树上对应的节点编号，并储存下来，这里使用 $a_i$ 来表示星球 $i$ 在（编号较小的那颗）线段树上对应的节点编号。对应的，在编号较大的那颗线段树上所对应的编号应为 $a_i+K$ 。

2. 建边 （vector好耶）

• 第一种就是普通的建边，将 $a_v$ 与 $a_u$ 连一条单向边。

• 第二种和第三种就是使用 $update$ 在线段树上找到可以代表 $[l,r]$ 区间内的所有星球的一些点，并与另一棵树上的代表 $v$ 的叶子节点建边。

3. 跑 $dijstra$ 时

• 就普通地跑。

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tips

• 注意$a_i$ 与 $i$ 的区别

• 注意区分出树和入树。

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代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=1e5+5;
int n,q,s,K=4e5+5;
int tr[MAXN*8],vis[MAXN*8],a[MAXN*8];
long long d[MAXN*8];
vector<int>vec[MAXN*8],val[MAXN*8];
void add(int u,int v,int d){//建边 
    vec[u].push_back(v);
    val[u].push_back(d);
    return ;
}
void build(int rt,int l,int r){
    if(l==r){
        a[l]=rt;
        add(a[l],a[l]+K,0);
        add(a[l]+K,a[l],0);//同一个星球，建双向边 
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(rt<<1,l,mid);
    build(rt<<1|1,mid+1,r);
    add(rt,rt<<1,0),add(rt,rt<<1|1,0);//相邻的节点，建单向边（父节点与子节点） 
    add((rt<<1)+K,rt+K,0),add((rt<<1|1)+K,rt+K,0);
}
void update(int rt,int l,int r,int L,int R,int w,int u){//第二和三种建边 
    if(L<=l && R>=r){
        if(u<=K){
            add(rt+K,u,w);
        }
        else{
            add(u,rt,w);
        }
        return ;
    }
    int mid=l+r>>1;
    if(mid>=L){
        update(rt<<1,l,mid,L,R,w,u);
    }
    if(R>mid){
        update(rt<<1|1,mid+1,r,L,R,w,u);
    }
    return ;
}
struct node{
    int v;
    long long d;
	bool operator<(const node &a)const{
		return d>a.d;
	}
};
void dij(){//最最最普通的最短路 
    priority_queue<node>q;
    q.push(node{s,0});
    d[s]=0;
    while(!q.empty()){
        int u=q.top().v;
		long long di=q.top().d;
        q.pop();
        if(vis[u]){
            continue;
        }
        vis[u]=1;
        for(int i=0;i<vec[u].size();i++){
            int v=vec[u][i],dis=val[u][i];
            if(di+dis<d[v]){
                d[v]=di+dis;
                q.push(node{v,d[v]});
            }
        }
    }
}
int main(){
    cin>>n>>q>>s;
    build(1,1,n);
    while(q--){
        int opt;
        cin>>opt;
        if(opt==1){
            int u,v,w;
            cin>>u>>v>>w;
            add(a[u],a[v],w);//注意这里是a[u]和a[v]而非u和v 
        }
        else{
            int u,l,r,w;
            cin>>u>>l>>r>>w;
            update(1,1,n,l,r,w,a[u]+K*(opt==2));
        }
    }
    memset(d,0x3f,sizeof(d));
    s=a[s]+K;
    dij();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(d[a[i]]==0x3f3f3f3f3f3f3f3f){//注意特判 
            cout<<-1<<" ";
            continue;
        }
        cout<<d[a[i]]<<" ";
    }
}

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结语

只是彩笔博主瞎掰扯，他自己都看不懂自己在干什么，欢迎指出博主的问题靴靴qaq。

被数据结构薄纱了