P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S 题解

题面

题目传送门

如果一个正整数的二进制表示中,0 的数目不小于 1 的数目,那么它就被称为「圆数」。

例如,9 的二进制表示为 1001,其中有 2021。因此,9 是一个「圆数」。

请你计算,区间 [l,r] 中有多少个「圆数」。


前置芝士

1.数位dp
相关的题:P4317 花神的数论题


思路

l,r的数据范围为2e9,显然不能用暴力枚举

数位 DP:用来解决一类特定问题,这种问题比较好辨认,一般具有这几个特征:
1.要求统计满足一定条件的数的数量(即,最终目的为计数);
2.这些条件经过转化后可以使用「数位」的思想去理解和判断;
3.输入会提供一个数字区间(有时也只提供上界)来作为统计的限制;
4.上界很大(比如 1018),暴力枚举验证会超时。

看到上面从oiwiki里抄的描述,发现完美符合本题,于是我们考虑使用数位dp来解决这道题

本题解使用的是记忆化搜索的方式(其实是不会递推写法喵)


状态设计

看到洛谷题解区的大佬好像很多都是用一维表示0和1的个数的差,也没有在dp数组中存储前导0,那样貌似空间小一些。但是我太菜了,一开始没想到,于是用了两维分别表示0和1的个数。

dpcnt,sum0,sum1,qd

这个表示:枚举到第cnt位,0的总数为sum01的总数为sum1,前面的每一位数是不是都是前导0,的数有多少个。(当qd=1时表示前面数都是前导0,qd=0时则表示前面数不是都是前导0)


前导0

关于为什么要看前面的每一位数是不是都是前导0:
因为如果不判断前导0的话,类似于 00100 这样的数的前面的0本来是应该统计的,但不判断前导零时则会被统计进sum0中去。所以一定要看前导零。


tips:

1.因为这个题的数据范围只有2e9,所以不用开long long。
2.在2进制中2e930位(貌似),主包一开始开小了(只有我会这样吧)
3.主包写代码写一半忘记是2进制了,怒调两分半。
4.记得初始化


代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l,r;
const int MAXN=35;
int a[MAXN];//十进制的数拆分成2进制每一位是什么 
int dp[MAXN][MAXN][MAXN][2];//枚举到第i位,有j个0,k个1,前面是不是都是前导0的数的个数 
//dfs返回的是这种情况下合法的数的个数 
int dfs(int cnt,int flag,int sum0,int sum1,int qd){
//cnt:枚举到了cnt位,flag:这一位有没有限制,其他的看上文:P 
	if(qd){//如果前面全都是前导0,那么这些0都不能算进0的总个数中 
		sum0=0;
	}
//下面的就是数位dp经典模板了(划掉 
	if(!cnt){//已经枚举完这个数啦 
		if(sum0>=sum1){//合法的数 
			return 1;
		}
		return 0;//不合法的数 
	}
	if(!flag && ~dp[cnt][sum0][sum1][qd]){//记忆化,只记录过没有限制的,因为有限制的只会搜一次 
		return dp[cnt][sum0][sum1][qd];
	}
	int maxi=a[cnt];
	if(!flag){
		maxi=1;
	}//maxi是指这一位最大可以枚举到多少,如果有限制的话就是原数二进制的cnt位的数字 
	int ret=0;
	for(int i=0;i<=maxi;i++){
		ret+=dfs(cnt-1,flag&&(i==maxi),sum0+(i==0),sum1+(i==1),qd&&(i==0));
	}//枚举下一位数字 
	if(!flag){
		return dp[cnt][sum0][sum1][qd]=ret;//记忆化,只记录没有限制的,因为有限制的只会搜一次 
	}//这也是dp数组可以不存flag的原因 
	return ret;
} 
int query(int x){
	int cnt=0;
	while(x){
		cnt++;
		a[cnt]=x&1;
		x>>=1;
	}//拆分成二进制放在a数组里 
	return dfs(cnt,1,0,0,1);//从最后一位开始,有限制,0和1的个数都是0,有前导零 
}
int main(){
	cin>>l>>r;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));//记得初始化 
	cout<<query(r)-query(l-1);	
}

结语

煮包的通过记录

呃呃,真的写不动题了啊啊,只能来水题解了。(吐血

补了一些latex,好像更丑了......

我的洛谷(魂兮归来......

作者:Le-Louvre

出处:https://www.cnblogs.com/Le-Louvre/p/18367710

版权:本作品采用「署名-非商业性使用-相同方式共享 4.0 国际」许可协议进行许可。

posted @   卢浮宫  阅读(33)  评论(1编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型,支持深度思考和联网搜索!
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目(很简单哒)
· ollama系列01:轻松3步本地部署deepseek,普通电脑可用
· 25岁的心里话
· 按钮权限的设计及实现
more_horiz
keyboard_arrow_up dark_mode palette
选择主题
点击右上角即可分享
微信分享提示