统计学习——朴素贝叶斯法

1.朴素贝叶斯法介绍

  朴素贝叶斯（naive Bayes)法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。对于给定的训练数据集，首先基于特征条件独立假设学习输入/输出的联合概率分布$P(X,Y)$；然后基于此模型，对给定的输入$x$，利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出$y$。朴素贝叶斯法实现简单，学习与预测的效率都很高，是一种常用的方法。

2.朴素贝叶斯法相关统计知识

  贝叶斯法的思想可以概括为先验概率+输入数据=后验概率。下面就简单介绍后验概率公式的简单推导。
  条件独立公式，如果$x$和$y$相互独立，则有:

$$P(X,Y)=P(X)P(Y)$$

  条件概率公式：

$$P(Y|X)=\frac{P(X,Y)}{P(X)}$$

$$P(X|Y)=\frac{P(X,Y)}{P(Y)}$$

  也即：

$$P(Y|X)=\frac{P(X|Y)P(Y)}{P(X)}$$

  全概率公式:

$$P(X)=\sum _{k}P(X|Y=y_k)P(Y=y_k)\mathrm{其}\mathrm{中}\sum _{k}P(Y=y_K)=1$$

  从上面公式很容易得出贝叶斯公式：

$$P(Y=y_k|X)=\frac{P(X|Y=y_k)P(Y=y_k)}{\sum _{k}P(X|Y=y_k)P(Y=y_k)}$$

3.朴素贝叶斯法的学习与分类

3.1基本模型

  设输入空间$x\subseteq R^n$，输出空间为类标记集合$Y=\{c_1,c_2,···，c_k\}$。$P(X,Y)$是$X$和$Y$的联合概率分布。训练数据集

$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),···，(x_n,y_n)\}$$

  由$P(X,Y)$独立同分布产生。
  朴素贝叶斯学习$P(X,Y)$，具体地，学习一下先验概率分布及条件概率分布。先验概率分布

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P(Y=c_k),k=1,2,···,K\end{array}$$

  条件概率分布

$$\begin{array}{}\text{(2)}& P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},···,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k),k=1,2,···,K\end{array}$$

  $(1)\times (2)$，便可得到联合概率分布$P(X,Y=c_k)$。
  从上面的式子可以看出$P(Y=c_k)$可以用极大似然估计求出，得到的$P(Y=c_k)$就是类别$c_k$在训练集里面出现的频数。但是$P(X^{(1)}=x^{(1)},···,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)$是一个有n个维度的条件分布，是很难求出的，于是朴素贝叶斯法对条件概率分布作了条件独立性的假设，即$X$的n个维度之间相互独立，这样就可以得出：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P(X=x|Y=c_k)=P(X^{(1)}=x^{(1)},···,X^{(n)}=x^{(n)}|Y=c_k)=\prod _{i=1}^{n}P(X^{(i)}=x^{(i)}|Y=c_k)\end{array}$$

  从上式可以看出，这个很难的条件分布大大的简化了，但是这也可能带来预测的不准确性。你会说如果我的特征之间非常不独立怎么办？如果真是非常不独立的话，那就尽量不要使用朴素贝叶斯模型了，考虑使用其他的分类方法比较好。但是一般情况下，样本的特征之间独立这个条件的确是弱成立的，尤其是数据量非常大的时候。虽然我们牺牲了准确性，但是得到的好处是模型的条件分布的计算大大简化了，朴素贝叶斯法实际上学习到生成数据的机制，属于生成模型。
  朴素贝叶斯分类时，对给定的输入x，通过学习到的模型计算后验概率分布$P(Y=c_k|X=x)$，将后验概率最大的类作为x的输出。后验概率计算根据贝叶斯定理：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}{\sum _{k}P(X=x|Y=c_k)P(Y=c_k)}\end{array}$$

  将$(3)$代入式$(4)$有

$$\begin{array}{}\text{(5)}& P(Y=c_k|X=x)=\frac{P(Y=c_k)\prod _{i=1}^{n}P(X^{(i)}=x^{(i)}|Y=c_k)}{\sum _{k}P(Y=c_k)\prod _i^{n}P(X^{(i)}=x^{(i)}|Y=c_k)}\end{array}$$

  注意到$(5)$中所有分母对所有$c_k$都是相同的，所以比较时只要比较分子即可，于是朴素贝叶斯分类器可表示为

$$\begin{array}{}\text{(6)}& y=arg\underset{c_k}{max}P(Y=c_k)\prod _{i=1}^{n}P(X^{(i)}=x^{(i)}|Y=c_k)\end{array}$$

3.2朴素贝叶斯法的参数估计

  对于$P(Y=c_k)$，我们采用极大似然估计，很容易得到$P(Y=c_k)$为样本类别$c_k$出现的频率，即样本类别$c_k$出现的次数$m_k$除以样本总数$m$。
  设第$j$个特征$X^{(j)}$可能取值的集合为$\{a_{j1},a_{j2},···,a_{js}\}$，条件概率$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)$的极大似然估计是

$$P(X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{n}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)}{\sum _{i=1}^{n}I(y_i=c_k)}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& j=1,2,···,n;l=1,2,···,s;k=1,2,···,K\end{array}$$

3.3学习与分类算法

  下面给出朴素贝叶斯的学习与分类算法。
  算法
  输入：训练数据

$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),···,(x_n,y_n)\}$$

  其中$x_i=(x_i^{(1)},x_i^{(2)},···,x_i^{(n)})$，$x_i^{(j)}$是第$i$个样本的第$j$个特征；$x_i^{(j)}\in \{a_{j1},a_{j2},···,a_{js}\}$，$a_{jl}$是第$j$个特征可能取的第$l$个值，$l=1,2,···,s$，$y_i\in \{c_1,c_2,···，c_k\}$;
  输出：实例$x$的分类。
  (1) 计算先验概率及条件概率，某些时候，可能某些类别在样本中没有出现，会导致分子为0，这样会影响后验的估计，为了解决这种情况，我们引入拉普拉斯平滑(Laplace Smooth)

$$\begin{array}{rl}& P(Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{n}I(y_i=c_k)+\lambda }{n+K\lambda },k=1,2,···,K\\ \\ P& (X^{(j)}=a_{jl}|Y=c_k)=\frac{\sum _{i=1}^{n}I(x_i^{(j)}=a_{jl},y_i=c_k)+\lambda }{\sum _{i=1}^{n}I(y_i=c_k)+s\lambda }\\ \\ & j=1,2,···,n;l=1,2,···,s;k=1,2,···,K\end{array}$$

  式中$\lambda \ge 0$。等价于在随机变量各个取值的频数上赋予一个正数$\lambda$。当$\lambda =0$时，就是极大似然估计。常取$\lambda =1$，这时称为拉普拉斯平滑。
  (2) 对于给定的实例$x=(x^{(1)},x^{(2)},···,x^{(n)}{)}^T$，计算

$$P(Y=c_k)\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

  (3) 确定实例$x$的类

$$y=arg\underset{c_k}{max}P(Y=c_k)\prod _{j=1}^{n}P(X^{(j)}=x^{(j)}|Y=c_k)$$

  例：试由表格中训练数据学习一个朴素贝叶斯分类器并确定$x＝(2,S{)}^T$的类标记$y$。表中$X^{(1)}$，$X^{(2)}$为特征，取值的集合分别为$A_1＝\{1,2,3\}$，$A_2＝\{S,M,L\}$，$Y$为类标记，$Y\in C=\{1,-1\}$。

  解：根据算法，有表格，容易计算出下列概率：

  对于给定的$x=(2,S{)}^T$，计算：

  因为$Y=-1$的后验概率大，所以$y=-1$。

4.代码实战

  数据来源于sklearn.datasets中的load_iris()

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split

from collections import Counter
import math

# data
def create_data():
    iris = load_iris()
    df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
    df['label'] = iris.target
    df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
    data = np.array(df.iloc[:100, :])
    # print(data)
    return data[:,:-1], data[:,-1]

X, y = create_data()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3)

X_test[0], y_test[0]

(array([5.1, 3.8, 1.9, 0.4]), 0.0)#输入是一个4维向量，输出一个类别0或1

4.1GaussianNB 高斯朴素贝叶斯（手动模拟）

  特征的可能性被假设为高斯

  概率密度函数：

$$P(x_i|y_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{yk}^2}}exp(-\frac{(x_i-{\mu }_{yk}{)}^2}{2{\sigma }_{yk}^2})$$

  数学期望(mean)：$\mu$

  方差：${\sigma }^2=\frac{\sum (X-\mu {)}^2}{N}$

class NaiveBayes:
    def __init__(self):
        self.model = None

    # 数学期望
    @staticmethod
    def mean(X):
        return sum(X) / float(len(X))

    # 标准差（方差）
    def stdev(self, X):
        avg = self.mean(X)
        return math.sqrt(sum([pow(x - avg, 2) for x in X]) / float(len(X)))

    # 概率密度函数
    def gaussian_probability(self, x, mean, stdev):
        exponent = math.exp(-(math.pow(x - mean, 2) /
                              (2 * math.pow(stdev, 2))))
        return (1 / (math.sqrt(2 * math.pi) * stdev)) * exponent

    # 处理X_train
    def summarize(self, train_data):
        summaries = [(self.mean(i), self.stdev(i)) for i in zip(*train_data)]
        return summaries

    # 分类别求出数学期望和标准差
    def fit(self, X, y):
        labels = list(set(y))
        data = {label: [] for label in labels}
        for f, label in zip(X, y):
            data[label].append(f)
        self.model = {
            label: self.summarize(value)
            for label, value in data.items()
        }
        return 'gaussianNB train done!'

    # 计算概率
    def calculate_probabilities(self, input_data):
        # summaries:{0.0: [(5.0, 0.37),(3.42, 0.40)], 1.0: [(5.8, 0.449),(2.7, 0.27)]}
        # input_data:[1.1, 2.2]
        probabilities = {}
        for label, value in self.model.items():
            probabilities[label] = 1
            for i in range(len(value)):
                mean, stdev = value[i]
                probabilities[label] *= self.gaussian_probability(
                    input_data[i], mean, stdev)
        return probabilities

    # 类别
    def predict(self, X_test):
        # {0.0: 2.9680340789325763e-27, 1.0: 3.5749783019849535e-26}
        label = sorted(
            self.calculate_probabilities(X_test).items(),
            key=lambda x: x[-1])[-1][0]
        return label

    def score(self, X_test, y_test):
        right = 0
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right += 1

        return right / float(len(X_test))

  运行：

model = NaiveBayes()
model.fit(X_train, y_train)#'gaussianNB train done!'
print(model.predict([4.4,  3.2,  1.3,  0.2]))#0.0
print(model.score(X_test, y_test))#1.0

4.2scikit-learn实例

  朴素贝叶斯是一类比较简单的算法，scikit-learn中朴素贝叶斯类库的使用也比较简单。相对于决策树，KNN之类的算法，朴素贝叶斯需要关注的参数是比较少的，这样也比较容易掌握。在scikit-learn中，一共有3个朴素贝叶斯的分类算法类。分别是GaussianNB，MultinomialNB和BernoulliNB。其中GaussianNB就是先验为高斯分布的朴素贝叶斯，MultinomialNB就是先验为多项式分布的朴素贝叶斯，而BernoulliNB就是先验为伯努利分布的朴素贝叶斯。

  这三个类适用的分类场景各不相同，一般来说，如果样本特征的分布大部分是连续值，使用GaussianNB会比较好。如果如果样本特征的分大部分是多元离散值，使用MultinomialNB比较合适。而如果样本特征是二元离散值或者很稀疏的多元离散值，应该使用BernoulliNB。

4.2.1GaussianNB类

  特征的可能性被假设为高斯

  概率密度函数：

$$P(x_i|y_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_{yk}^2}}exp(-\frac{(x_i-{\mu }_{yk}{)}^2}{2{\sigma }_{yk}^2})$$

  数学期望(mean)：$\mu$

  方差：${\sigma }^2=\frac{\sum (X-\mu {)}^2}{N}$

  GaussianNB会根据训练集求出${\mu }_{yk}$和${\sigma }_{yk}^2$。
  GaussianNB类的主要参数仅有一个，即先验概率priors ，对应Y的各个类别的先验概率$P(Y=C_k)$。这个值默认不给出，如果不给出此时$P(Y=C_k)=m_k/m$。其中$m$为训练集样本总数量，$m_k$为输出为第k类别的训练集样本数。如果给出的话就以priors 为准。
  在使用GaussianNB的fit方法拟合数据后，我们可以进行预测。此时预测有三种方法，包括predict，predict_log_proba和predict_proba。
  predict方法就是我们最常用的预测方法，直接给出测试集的预测类别输出。
  predict_proba则不同，它会给出测试集样本在各个类别上预测的概率。
  predict_log_proba和predict_proba类似，它会给出测试集样本在各个类别上预测的概率的一个对数转化。转化后predict_log_proba预测出的各个类别对数概率里的最大值对应的类别，也就是predict方法得到类别。

#"上面手动模拟的GS现用sklearn库实现
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
clf = GaussianNB()
clf.fit (X_train,y_train)
print(clf.score(X_test,y_test)) 
print(clf.predict([[4.4,3.2,1.3,0.2]])) 

4.2.2MultinomialNB类

  MultinomialNB假设特征的先验概率为多项式分布，即：

$$P(X_j=x_{jl}|Y=C_k)=\frac{x_{jl}+\lambda }{m_k+n\lambda }$$

  其中，$P(X_j=x_{jl}|Y=C_k)$是第$k$个类别的第$j$维特征的第$l$个取值的条件概率。$m_k$是训练集中输出为第$k$类的样本个数。$\lambda =1$，即拉普拉斯平滑。
  MultinomialNB参数比GaussianNB多，但是一共也只有3个。其中，参数alpha即为上面的常数$\lambda$，如果没有特别的需要，用默认的1即可。如果发现拟合的不好，需要调优时，可以选择稍大于1或者稍小于1的数。布尔参数fit_prior表示是否要考虑先验概率，如果是false,则所有的样本类别输出都有相同的类别先验概率。否则可以自己用第三个参数class_prior输入先验概率，或者不输入第三个参数class_prior让MultinomialNB自己从训练集样本来计算先验概率，此时的先验概率为$P(Y=C_k)=m_k/m$。其中$m$为训练集样本总数量，$m_k$为输出为第$k$类别的训练集样本数。总结如下：

$$\begin{array}{|ccc|}\hline fit\mathrm{\_}prior& class\mathrm{\_}prior& \mathrm{最}\mathrm{终}\mathrm{先}\mathrm{验}\mathrm{概}\mathrm{率}\\ false& \mathrm{无}\mathrm{意}\mathrm{义}& P(Y=C_k)=1/k\\ \mathrm{选}\mathrm{择}\mathrm{排}\mathrm{序}& \mathrm{不}\mathrm{填}& P(Y=C_k)=m_k/m\\ \mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{插}\mathrm{入}\mathrm{排}\mathrm{序}& \mathrm{填}& P(Y=C_k)=class\mathrm{\_}prior\\ \hline\end{array}$$

  在使用MultinomialNB的fit方法拟合数据后，我们可以进行预测。此时预测有三种方法，包括predict，predict_log_proba和predict_proba。方法和GaussianNB完全一样。

4.2.3BernoulliNB类

  BernoulliNB假设特征的先验概率为二元伯努利分布，即：

$$P(X_j=x_{jl}|Y=C_k)=P(j|Y=C_k)x_{jl}+(1-P(j|Y=C_k)(1-x_{jl})$$

  此时$l$只有两种取值。$x_{jl}$只能取值$0$或者$1$。

  BernoulliNB一共有4个参数，其中3个参数的名字和意义和MultinomialNB完全相同。唯一增加的一个参数是binarize。这个参数主要是用来帮BernoulliNB处理二项分布的，可以是数值或者不输入。如果不输入，则BernoulliNB认为每个数据特征都已经是二元的。否则的话，小于binarize的会归为一类，大于binarize的会归为另外一类。
  在使用BernoulliNB的fit拟合数据后，我们可以进行预测。此时预测有三种方法，包括predict，predict_log_proba和predict_proba。由于方法和GaussianNB完全一样。

5.朴素贝叶斯算法总结

  朴素贝叶斯的主要优点有：

　　　　1）朴素贝叶斯模型发源于古典数学理论，有稳定的分类效率。

　　　　2）对小规模的数据表现很好，能个处理多分类任务，适合增量式训练，尤其是数据量超出内存时，我们可以一批批的去增量训练。

　　　　3）对缺失数据不太敏感，算法也比较简单，常用于文本分类。

  朴素贝叶斯的主要缺点有：　　　

　　　　1） 理论上，朴素贝叶斯模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。但是实际上并非总是如此，这是因为朴素贝叶斯模型给定输出类别的情况下,假设属性之间相互独立，这个假设在实际应用中往往是不成立的，在属性个数比较多或者属性之间相关性较大时，分类效果不好。而在属性相关性较小时，朴素贝叶斯性能最为良好。对于这一点，有半朴素贝叶斯之类的算法通过考虑部分关联性适度改进。

　　　　2）需要知道先验概率，且先验概率很多时候取决于假设，假设的模型可以有很多种，因此在某些时候会由于假设的先验模型的原因导致预测效果不佳。

　　　　3）由于我们是通过先验和数据来决定后验的概率从而决定分类，所以分类决策存在一定的错误率。

　　　　4）对输入数据的表达形式很敏感。

6.参考文献

1.刘建平机器学习
2.李航《统计学习方法》