用生成函数推导斐波那契数列的通项公式
定义数列 $\{a_i\}$ 的普通生成函数 $\rm (OGF, \ ordinary \ generating \ function)$ 为 $$f(x) = \sum^{\infty}_{i=0} a_ix^{i} \ .$$
考虑 $\{a_i = 1\}$ 的 $\rm OGF:$ $$f(x) = \sum^{\infty}_{i=0} x^{i} \ , $$ 乘上 $x$ 得到：$$xf(x) = \sum^{\infty}_{i=1} x^{i} = f(x)-1 \ ,$$
于是我们得到 $\{a_i = 1\}$ 的 $\rm OGF$ 的封闭形式（它并不表示无穷级数的和）为 $$f(x) = \frac{1}{1-x}$$
接下来考虑 $\{F_i\}$ 的 $\rm OGF$：$$f(x) = \sum^{\infty}_{i=0} F_ix^{i} \ ,$$其中 $F_0 = 0,\ F_1 = 1, \ F_i = F_{i-1} + F_{i-2}.$
仿照先前的做法，用 $f(x)$ 来表示自己，可以得到：$$x^2f(x) + xf(x) + x = f(x)$$
则 $\{F_i\}$ 的 $\rm OGF$ 的封闭形式为 $$f(x) = \frac{x}{1-x-x^2} = \frac{-x}{(x-\frac{\sqrt 5 - 1}{2})(x+\frac{\sqrt 5 + 1}{2})} = \frac{\frac{5 -\sqrt 5}{10}}{\frac{\sqrt 5 - 1}{2} - x} - \frac{\frac{\sqrt 5 + 5}{10}}{\frac{\sqrt 5 + 1}{2} + x} = \frac{\frac{\sqrt 5}{5}}{1 - \frac{\sqrt 5 + 1}{2}x} - \frac{\frac{\sqrt 5}{5}}{1 - \frac{1 - \sqrt 5}{2}x}\ .$$
将 $\rm OGF$ 展开得：$$\begin{aligned} f(x) &= \sum^{\infty}_{i=0} \frac{\sqrt 5}{5}\left(\frac{\sqrt 5 + 1}{2}x\right)^{i} - \sum^{\infty}_{i=0} \frac{\sqrt 5}{5}\left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}x\right)^{i} \\ &= \sum^{\infty}_{i=0} \frac{\sqrt 5}{5}\left[\left(\frac{\sqrt 5 + 1}{2}\right)^{i} - \left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^{i}\right]x^{i}\ ,\end{aligned}$$
提取系数得：$$F_i = [x^i]f(x) = \frac{\sqrt 5}{5}\left[\left(\frac{\sqrt 5 + 1}{2}\right)^{i} - \left(\frac{1 - \sqrt 5}{2}\right)^{i}\right]\ .$$
其实这篇文章是抄 OpenAI 的，证明如下：
