UVA136 Ugly Numbers
Ugly numbers are numbers whose only prime factors are $2, 3$ $\mbox {or}$ $5$. The sequence
$1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, \cdots$
shows the first 11 ugly numbers. By convention, 1 is included.
Write a program to find and print the 1500’th ugly number.
Input
There is no input to this program.
Output
Output should consist of a single line as shown below, with ‘<number>’ replaced by the number computed.
Sample Output
The $1500'th$ ugly number is <number>.
我们定义丑数为只含有$2,3,5$质因子的数，例如$6=2\times3$，所以$6$是丑数，$14=2\times7$，所以$14$不为丑数。$1$也为丑数，请求出第$1500$个丑数是多少？
我们很容易想到暴力算法，枚举每个数看它是不是丑数，然后计数即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n=1500,cnt=0;
int main()
{
for(int i=1; ;i++)
{
int t=i;
while((t&1) == 0)
t >>= 1;
while(t%3 == 0)
t /= 3;
while(t%5 == 0)
t /= 5;
if(t == 1)
cnt++;
if(cnt == n)
{
printf("The %d'th ugly number is %d.\n",n,i);
break;
}
}
return 0;
}
时间不够，怎么办？直接输出结果
我们可以想到，除1以外的丑数都是通过一个丑数分别$\times2,3,5$得到，我们只要把得到的丑数放入队列，然后排序一下就好了。可排序又大大增加了时间复杂度，问题来了，怎么不通过排序保证主队列中的丑数单调递增呢？
将$1$放入主队列，建3个队列$q_2,q_3,q_5$分别表示$\times2,3,5$得到的丑数。$q_2,q_3,q_5$各自进$1\times2,1\times3,1\times5$的值。
我们可以肯定，$q_2,q_3,q_5$最前面的数肯定比后面的大（因为后面的晚入队）,只需要比较$q_2,q_3,q_5$最前的数，将最小的数出队，放入主队列中，再在$q_2,q_3,q_5$放入它$\times2,3,5$的倍数就好了！值得一提的是，如果有两个或更多最小数，需要一起出队。当计数到$1500$时输出。（别忘了输出最后有句号）
上代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n=1500,cnt=2;
queue<int> q2,q3,q5;
int main()
{
q2.push(2);
q3.push(3);
q5.push(5);
if(n == 1)
return printf("The %d'th ugly number is %d.\n",n,n),0;
while(1)
{
int x2=q2.front(),x3=q3.front(),x5=q5.front();
int minn=min(x2,min(x3,x5));
if(cnt == n)
{
printf("The %d'th ugly number is %d.\n",n,minn);
break;
}
cnt++;
if(x2 == minn)
q2.pop();
if(x3 == minn)
q3.pop();
if(x5 == minn)
q5.pop();
q2.push(minn << 1);
q3.push(minn*3);
q5.push(minn*5);
}
}
