堆

C语言的堆区与栈区

数据结构中的最大二叉堆：

如图所示，它是一颗完全的二叉树，除了最后一层外都是填满的，堆的子女和父母的关系可以利用上标计算。

关于最大二叉堆的操作，有保持堆性质MAX-HEAPIFY，建立堆BUILD-MAX-HEAP过程。若需要使用二叉堆进行堆排序，则需要HEAP-EXTRA-MAX等。

堆保持的递归算法如下：

通过比较元素与左右子女的大小，判断有没有保持堆的要求。

下图为堆排序示例：

建立堆的过程如下：

堆排序过程如图：

高效的优先级队列使用二叉堆进行实现，如下为利用最大堆实现的最大优先级队列

优先级队列一般支持四项操作:1.插入；2.返回最大值(即取队首元素)；3.返回并去掉最大值；4.将某x元素增大到k。

通过观察二叉堆，不难实现以上操作。

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从二叉堆说到二项堆及斐波那契堆

二叉堆（binary heap）

二项堆（binomial heap）：

二项堆是满足下列性质的二项树构成：

1. 二项树遵循最小堆原理(节点的关键字大于或者等于其父节点)。
2. 对于任意非负整数k，在H中至少有一棵二项树的根具有度数k。

二项堆中的二项树的深度与节点的关系恰好符合组合，即二项式的系数。

先介绍下二项树：

二项树有如下性质：

1. 若有二项树B_k，其节点为2^k个。
2. 树的高度为k
3. 深度i处恰好有组合个节点
4. 根的度数为k，大于其他节点。并且根的子女从左到右分别是k-1，k-2…..0。

对于一个二项树有如下结构

按照后续遍历获得的顺序

二项堆的表示：

二项堆的主要操作：

1. 寻找最小关键字
   最小关键字均在根节点，故其最多为⌊lg n⌋ + 1
   
2. 合并两个堆
   
   
   
3. 插入节点
   构造一个单节点的树，然后合并两棵二项树
4. 抽取最小关键字
   
   一个二项堆H，具有最小关键字的X被去掉，X子女逆转，然后合并
5. 减小关键字的值
   
6. 删除关键字

   暂时略

然后是斐波那契堆（Fibonacci Heaps）

相对于二项堆，斐波那契堆在不涉及删除元素的操作时，仅需要O(1)的平摊时间。

Fibonacci Heap在EXRTRACT-MIN和DELETE操作的数目较小。

在最小生成树和寻找单源最短路径时对每一条边会调用DECREASE-KEY，即利用优先级队列，

其O(1)的平摊时间对于O(lgn)来说提升很大。但是斐堆不如二叉堆来得实用。

 

斐波那契堆由一组最小堆有序树组成，但是堆中的树不一定是二项树。

此堆中的树都是有根而无序的

主要操作：

1. 插入一个节点
   
   
2. 抽取最小值
   
   
3. 减小关键字
   

 

关于可合并堆的总结:

可合并堆支持的7种操作：

1. 创建新堆
2. 插入元素x
3. 返回堆中最小或者最大的元素
4. 删除最小或者最大元素
5. 合并两个堆
6. 将关键字值k赋予堆中节点
7. 删除堆中结点
   

若不需要合并操作，那二叉堆已经很符合要求，二叉堆的合并操作最坏运行时间为O(n)，二项堆和斐波那契堆的合并就相对较快。

在Prim算法中，性能取决于队列Q的实现，若用二项堆来实现Q，

BUILD-MIN-HEAP初始化为O(V)

EXTRACT-MIN需要O(lgV)次，运行V次，所以时间为O(VlgV)

还有E次DECREASE-KEY操作，单次为O(lgV)

所以总的时间O(VlgV + ElgV) = O(ElgV)

若使用斐波那契堆，时间可以减少到O(E+VlgV)