[数学记录] 博弈论

所谓博弈，就是两个人（算了我编不出来了）

Part 0. 问题

只有公平博弈，不能操作者输。

Part 1. 基础理论

• Bool SG ：必败态：后继全是必胜态；必胜态：后继存在必败态。
• 必败态 SG 值 = 0
• 当个游戏 SG 值为后继状态 SG 值的 mex。
• 多个游戏 SG 值为当个游戏的 xor 值。

Part 2. 经典模型

Nim

若干堆石子，每次操作

SG 本身就是对应一堆石子。异或和 = 0 / $\ne = 0$ 意味着先手必败 / 先手必胜。

Joker Nim

还是若干堆石子，但是两个玩家自己也有一堆石子。可以把自己的拿给中间的，也可以把中间的拿给自己的。

还是 Nim。因为一方如果把自己的给中间的，另一方就拿回来，这样另一方只增不减。

Lasker's nim

还是取石子，但是可以分成把一堆变成两份。

一堆：$f[i] = mex\{f[1], \dots, f[i - 1], f[a] ^ f[i - a]\}$。

找规律可以做到 O(1)。

Staircase Nim

每次可以往左边给若干石子。

结论：偶数格子的异或值。

左移奇数格，下一方可以再移动一次。所以奇数格的移动是没有意义的。
而偶数格左移一格到了奇数格相当于丢弃。

Anti-SG

无法操作者 win.

BZOJ1022.

结论：

• 当所有单个游戏 SG = 0，且所有 SG 异或和 = 0
• 当所有单个游戏 SG > 0，且存在 SG 异或和 > 0

树上删边游戏

每次删去一条边和一个不包含 rt 的子树。不能操作的人寄。

结论：

叶子节点 SG 值 = 0, 中间节点 SG 值 = xor (所有儿子 SG 值 + 1）

Part 3. 题

CF549C The Game Of Parity

这个题，考虑最后一个人很牛逼。如果轮到他，既有奇数还有偶数。那么他赢了。

那么考虑偶数哥，他希望最后奇数删没了，那么他赢了。所以他的策略就是删完奇数，而奇数哥不会帮他。

奇数哥呢，他要把所有的偶数删完，而且剩下的还得是奇数。。

这两条规则满足了（如果不够删完就是不满足啊），那就最后一个人赢。

CF603C Lieges of Legendre

这个是啥来着，哦子游戏，就是多 $k$ 堆变成子游戏异或起来，然后 SG 值取 mex。找规律。

CF1091H New Year and the Tricolore Recreation（trick）

这个题，考虑怎么设状态，由于横轴无限宽，而中间的不动，因此记录两个段的长度。

然后筛法可以得到合法的取值集合。我们发现其实可以变成 $2n$ 个数的 SG 和。

然后 bitset 怎么怎么优化一下（

CF317D Game with Powers

CF717D Dexterina's Lab

[SDOI2009] E&D

这个就 SG 找规律。（挺难找的）

[HAOI2015] 数组游戏（trick）

trick:看成白棋子的子游戏（每次放入一个白棋子）

感觉和 [HNOI2015]江南乐 相似。

这里我只证明一个结论。

当 $n / x = n / y$， $SG(x) = SG(y)$。

$S(x) = \{0, SG(2x), SG(2x) xor SG(3x), \dots, SG(2x) xor \dots xor SG(kx) \}, k = n / x$

这里不看 mex 了，直接考虑集合相同。

证明：

对 $n / x$ 归纳，假设 $\forall 1 \to k, 满足 \forall x, y, n / x = n / y = k$，有 S(x) = S(y)$

那么对于 $n / v = k + 1$。对于每个 $t\ge 2$，考察 $tx, ty$ 的关系。$SG(tx) = SG(ty)$。因为 $n / tx = n / x / t = n / y / t = n / yt$。

这一步由归纳得，因为 $t \ge 2$， $n / ty = n / tx \le k$。

证完啦

[FJOI2013] 圆形游戏

由于圆形成了一个树形结构，直接树上删边游戏。扫描线什么的就不关我事了。

[SDOI2016] 硬币游戏

[SDOI2019] 移动金币

[HNOI2007] 分裂游戏

[雅礼集训 2017 Day2] 棋盘游戏

SP11414 COT3 - Combat on a tree

LightOJ1315 Game of Hyper Knights

hdu3980 Paint Chain