生成函数相关

P6295 有标号 DAG 计数

考虑不一定弱联通的 DAG 的 EGF， ln 一下得到答案。

$F[i]$ : $i$ 个点的有标号 DAG 数量

$F[i] = \sum_{j = 1} ^ {i} (-1) ^ {j - 1} \dbinom{i}{j} F[i-j] 2^{(j)(i-j)}$

容斥的含义：钦定一个大小为 $j$ 的集合是 DAG 的零度点。删去集合后仍是个 DAG。

trick: $j \times (i - j) = \binom{i}{2} - \binom{j}{2} - \binom{i - j}{ 2}$

容斥就是一个二项卷积的形式。

$\dfrac{F[i]}{2^{\binom{i}{2}}} = \sum_{j = 1}^{i} \dbinom{i}{j} \dfrac{(-1)^{j - 1}}{2^\binom{j}{2}} \cdot \dfrac{F[i-j]}{ 2^{\binom{i - j}{ 2}}}$

设 $F(x), G(x)$ 为两个东西的 EGF

$F(x) = \sum_{j\ge 0}\dfrac{-1^{(j-1)}}{j! 2^{\binom{j}{2}}}x^j$
$G(x) = \sum_{j\ge 0}\dfrac{F[j]}{j! 2^{\binom{j}{2}}}x^j$

反正就是 $G(x)$ 的系数钦定 $j = 0$ 的时候为 $0$ 即可。

$F(x) = F(x) G(x) + 1$

$F(x) = \dfrac{1}{1 - G(x)}$

$+ 1$ 考虑到上述公式钦定 $i \ge 1$，转移时 $j = 0$ 都忽略了，但是 $F[0] = 1$。

注意取 ln 和 计算 F(x) 的系数是两个过程。

我们能使用 exp 的组合意义，意味着不能存在 $2^{\dbinom{i}{2}}$

故求逆以后需要先还原点值在进行一个 ln 的ln。