莫比乌斯反演

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2025/01/24：开工。

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莫比乌斯函数

定义与性质

莫比乌斯函数，记作 \(\mu\)。

首先，我们知道一个数可以用如下方式表示：

\[d=\sum_{i=1}^k p_i^{b_i} \]

然后 \(\mu\) 的定义为：

\[\mu(d)=\begin{cases} 1,d=1\\ 0,\exist b_i\ge2\\ (-1)^k,d\ne1\land\forall b_i=1 \end{cases} \]

不难发现它实际上就是一个容斥系数。

我们在这里给出一个莫比乌斯反演会用到的性质：

\[\forall n\in Z^*,\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1] \]

可以自己推导一下。这同样表明了 \(\mu\) 是一个质因数的容斥系数。

线性筛莫比乌斯函数

• 如果当前数是质数，根据定义，\(\mu(p)=1\)。
• 对于 \(i\cdot p\)，有几种情况需要讨论：
  • \(i\mid p\)，那么 \(\exist b_{i\cdot p}\ge2\)，\(\mu(i\cdot p)=0\)。
  • \(i\nmid p\)，这时候我们需要分讨是否 \(\exist b_i\ge2\)，但事实上，我们可以直接 \(\mu(i\cdot p)=-\mu(i)\)。

int pcnt;
bool st[N],pr[N],mu[N];
void getmu(int n){
	mu[1]=1;
	rep(i,2,n){
		if(!st[i]){pr[++pcnt]=i;mu[i]=-1;}
		for(int j=1;i*pr[j]<=n;j++){
			st[i*pr[j]]=1;
			if(i%pr[j]==0)break;
			else mu[i*pr[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

莫比乌斯反演

\(F(x)\) 与 \(f(x)\) 是定义在非负整数集上的两个函数：

\[\text{if }F(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\\ f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

证明：

\[\begin{align*} &\sum_{d\mid n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\\ =&\sum_{d\mid n}[\mu(d)\sum_{i\mid\frac{n}{d}}f(i)]\\ =&\sum_{i\mid n}[f(i)\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)]\\ =&f(n) \end{align*} \]

以及另一种形式：

\[\text{if }F(n)=\sum_{n\mid d}f(d)\\ f(n)=\sum_{n\mid d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \]

证明：
上面是已知 \(F\) 与其约数 \(f\) 的关系，这里已知 \(F\) 与其倍数 \(f\) 的关系，感性理解一下这两个式子其实是等价的。
可以通过下面这个式子加深记忆：（不是证明过程）

\[f(n)=\sum_{k\in Z^*}\mu(k)F(nk) \]

是不是感觉就和上面的第一个式子有形式相反的感觉了？

例题

有时间多补一点吧。