动态开点线段树

动态开点线段树#

为了准备google的面试刷题的时候发现这个知识点其实我一直不太熟悉，所以专门写一篇blog准备一下。

我们将从以下几个方面去讲解：

目录

• 动态开点线段树
  • 什么是动态开点线段树
  • 优缺点使用情况
  • 思路讲解及实现
  • TODO
  • Example
    • LeetCode Range Module

什么是动态开点线段树#

动态开点线段树是在空间不够时动态的create线段树上的结点，与普通线段树直接build不同，动态开点线段树在使用的过程中动态create。

优缺点使用情况#

优点：

• 元素的值域很大，比如1e9且强制在线（无法离散化）。

缺点：

• 比正常的线段树复杂一些。

思路讲解及实现#

依据我人脑库中的继承，我的线段树一般有几个基本方法需要实现：

• push，进行操作前往子结点传递信息。
• pull，进行操作后从子结点更新父节点。
• update(start, end, rt)，进行区间更新
• query(start, end, rt)， 进行区间查询
• build，但是这里不需要了。

下面解释下tree node：

• ls: left son
• rs: right son
• val: 当前node对应的价值
• lazy：各种懒标记（add, mul）等。

只需要注意的是，动态开点的具体流程，假如ls或者rs为0，则代表对应的节点还没有创建，需要我们动态创建。

思考一下，动态开点应该放在哪个方法里面？

Answer: push方法中，因为我们每次操作前都会调用push往子结点传递信息，如果子结点不存在我们再动态创建。

定义结构体Node：

Copy
struct Node{
	int ls, rs; // lson, rson
	int val, add; // val -> value, add -> lazy add
	Node (int a = 0, int b = 0, int c = 0, int d = 0){
		ls = a;
		rs = b;
		val = c;
		add = d;
	}
} tr[MAXN];

定义push，注意我们的宏，主要是为了写的方便，其中len代表区间的长度，因为我们的结构体中没有存区间长度所以我们要传进来。

• if (!ls(p)) ls(p) = ++ cnt;
• if (!rs(p)) rs(p) = ++ cnt;

这两行代码就是用于动态的create的。

除此之外还需要注意，如果我们是按这种规则区分的：

• 左边 $[start, mid] | mid = \frac{start + end}{2}$
• 右边 $[mid+1,end] | mid = \frac{start + end}{2}$

这样，我们列出公式：

$$\begin{array}{ll} Len_l &=\dfrac{end + start}{2} - start + 1\\ Len_l &=\dfrac{end - start + 2}{2} \\ Len_l &=\dfrac{len + 1}{2} = \verb|len-(len/2)|\\ Len_r &=\dfrac{len - 1}{2} = \verb|len/2| \end{array}$$

于我们的常识有点不符，左边的区间长度为$Len_l = \verb|len-(len/2)|$。

其他的都和正常的区间线段树类似。注意，这里我们不能使用$Len_r = \dfrac{len-1}{2}$，这是因为，虽然左边我们可以直接用$\dfrac{len+1}{2}$，但是这其实有取floor的感觉，不能直接用加减考虑。

Copy
#define ls(x) tr[x].ls
#define rs(x) tr[x].rs
#define val(x) tr[x].val
#define add(x) tr[x].add

void push(int p, int len){
    // check exists
    if (!ls(p)) ls(p) = ++ cnt;
    if (!rs(p)) rs(p) = ++ cnt;

    if (add(p) == 0) return void();

    if (add(p) == -1){
        val(ls(p)) = val(rs(p)) = 0;
    }else if (add(p) == 1){
        val(ls(p)) = len - (len / 2);
        val(rs(p)) = len / 2;
    }

    add(ls(p)) = add(p);
    add(rs(p)) = add(p);

    add(p) = 0;
}

你会发现我们的结构体中并没有存储节点所代表的 left 和 right ？这是值得思考的问题，这是因为，我们默认 root 节点代表的是 [MIN, MAX]，这样我们就可以在 query update 等函数的参数中维护当前节点 p 代表的区间。

TODO#

• 实际上还需要添加 query 的一些描述。[2023/08/10]

Example#

LeetCode Range Module#

代码：https://leetcode.cn/submissions/detail/350662555/

需要注意，如果是这种OJ，需要memset结构体或者写到类内。