计数DP --- 多重组合数问题

计数DP --- 多重组合数问题#

多重集组合数，有$n$种物品，第 i 种有$a_i$个。不同种类的物品可以互相区分但是相同的种类的无法区别。从这些物品中取$m$个有多少种取法。

限制条件：

$1 \leq n \leq 1000$

$1 \leq m \leq 1000$

$1 \leq a_i \leq 1000$

$2 \leq M \leq 10000$

这是一个比较经典的计数dp问题，我们设dp[i+1][j] := 从前i种物品中取出j个的组合总数。

暴力法思维量较小，应用递推。我们可以把从前$i$种物品取$j$个，划分为：从前$i - 1$种物品中取$j-k$个，从剩下的第$i$种物品里取剩下的$k$个。则递推式可以表示为:

$$dp[i+1][j] = \sum_{k=0}^{\min\{j, a[i]\}}dp[i][j-k]$$

但是利用这个递推式进行计算的时间复杂度为$\mathcal{O(nm^2)}$，根据限制条件，该算法时间复杂度过高，需要进行优化。

我们对递推式进行优化，优化后的结果如下，下面将阐明如何得到这个递推式的:

$$dp[i+1][j] = dp[i + 1][j - 1] + dp[i][j] - dp[i][j - 1 - a_i]$$

分两种情况：

• 情况1: $a[i] > j - 1$

这时候$dp[i + 1][j - 1]$的k的取值范围是$[0, j - 1]$:

$$dp[i + 1][j - 1] = dp[i][j-1] + dp[i][j-2] + \cdots + dp[i][1] + dp[i][0]$$

又因为$a[i] > j - 1 \Rightarrow a[i] \ge j$,这时k的取值范围是$[0, j]$:

$$dp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i][j - 1] + \cdots + dp[i][1] + dp[i][0]$$

可以发现$dp[i+1][j]与dp[i+1][j-1]$之间只差一个$dp[i][j]$可以用如下图表示:

• 情况2：$a[i] \leq j - 1$

这时，将式子进行展开得到:

$$\left\{\begin{array} xdp[i+1][j] = dp[i][j] + dp[i][j-1] + \cdots + dp[i][j-a[i]] \\ dp[i+1][j-1] = dp[i][j-1] + \cdots + dp[i][j-1-a[i]] \\ \end{array}\right.$$

用图像进行表示如下:

因此，可以证明上述表达式成立。

核心代码如下:

Copy
int n, m;
int a[MAX_N]

int dp[MAX_n][MAX_M]

void solve(){
	for (int i = 0; i <= n; ++ i) dp[i][0] = 1;
	
	for (int i = 0; i < n; ++ i){
		for (int j = 1; j <= m; ++ j){
			if (j - 1 - a[i] >= 0){
				dp[i + 1][j] = dp[i + 1][j - 1] + dp[i][j] - dp[i][j - 1 - a[i]];
			}else dp[i + 1][j] = dp[i + 1][j - 1] + dp[i][j];
		}
	}
}

Update: 2020/8/16#

经典例题：POJ3046 - Ant Counting