一些Pell方程解的性质的整理

Pell方程是一类二元二次不定方程，其形如

\[x^2-dy^2=1 \]

其中\(d\)为一非完全平方数的正数。
对于Pell方程解的存在性和求法以及超出了本文的范畴，在此仅讨论在已知Pell方程最小解的情况下的一些操作。

假设我们已知了Pell方程的最小解\(( x_0, y_0)\)，那么其他的解可以由最小解的幂次得到，即

\[x_n+\sqrt{d}y_n=(x_0+\sqrt{d}y_0)^n \]

或

\[x_n-\sqrt{d}y_n=(x_0-\sqrt{d}y_0)^n \]

由此可以推知其通解公式的形式为

\[x_n=\frac{1}{2}[(x_0+\sqrt{d}y_0)^n+(x_0-\sqrt{d}y_0)^n] \]

\[y_n=\frac{1}{2\sqrt{d}}[(x_0+\sqrt{d}y_0)^n-(x_0-\sqrt{d}y_0)^n] \]

推得

\[x_n=x_{0}x_{n-1}+dy_{0}y_{n-1} \]

\[y_n=y_{0}x_{n-1}+x_{0}y_{n-1} \]

由此可以推知其递推公式的形式为

\[x_n=2x_{0}x_{n-1}-x_{n-2} \]

\[y_n=2x_{0}y_{n-1}-y_{n-2} \]