[HNOI2014]江南乐

题目地址：https://www.luogu.com.cn/problem/P3235

题目意思是这样的：
给定\(n\)堆石子，每次操作选择一堆石子数目\(x\)(\(x>=f\))，把它分成\(m\)堆(\(2<=m<=x\))，分出来的每一堆中石子数目最大值和最小值相差不超过\(1\)（也就是均分的意思），问你先手是否必胜。

其实这个问题可以转化成\(n\)个子问题，每一个子问题都只对一堆石子进行操作。

然后就可以转化成\(SG\)函数的问题了。

SG定理：\(SG=SG(a_1) \bigoplus SG(a_2) \bigoplus SG(a_3)... \bigoplus SG(a_n)\)，及总问题的SG值为分问题的SG值的异或和，本文就不进行证明了。

想法1

考虑到\(x\)的\(SG\)值只跟\(f\)有关，题目在最开始已经把\(f\)告诉我们了，我们可以考虑预处理。
我们用枚举每个\(x\)分成的石子堆数\(m\)(\(2<=m<=x\))，将这\(m\)堆石子的\(SG\)异或起来，然后对于所有的\(m\)的异或和取\(mex\)。
这显然是\(O(x^2)\)的做法，会直接TLE。

所以我们不能预处理，我们就想到了记忆化搜索。

想法2

受到想法1的启发，我们可以枚举\(m\)，然后异或和取\(mex\)，这不过这一次我们不预处理出\(SG\)值，而是边暴力递归边存\(SG\)值，遇到已经算过的\(SG\)值直接返回即可。
那么如何计算异或和呢？
我们用到异或的一个性质\(x \bigoplus x=0\)
看到下面这张图

我们发现把\(x\)分成\(m\)份的异或和只有可能是\(0,SG(x/m),SG(x/m+1),SG(x/m) \bigoplus SG(x/m+1)\)
那么接下来该如何计算\(mex\)值呢
我们每一次算完异或和以后，用一个数字打上一个特殊的标记，然后最后统计\(mex\)值的时候找到第一个没有这种标记的值即可

然后我们就可以拿到了70分（TLE30）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,F,sg[200000];
int n,a,po[200000],q=0;
int SG(int x,int pos)
{
	if(sg[x]>-1)return q--,sg[x];//已经算出来过
	if(x<F)return q--,0;//不可再分
	sg[x]=0;
	for(int i=2;i<=x;i++)//计算异或和
	{
		int x1=x/i,x2=x/i+1,n2=x-x1*i,n1=i-n2;//计算分出来的两个值和两个值所占的数量
		if(n1%2==0&&n2%2==1)po[SG(x2,++q)]=pos;
		if(n1%2==0&&n2%2==0)po[0]=pos;
		if(n1%2==1&&n2%2==1)po[SG(x2,++q)^SG(x1,++q)]=pos;
		if(n1%2==1&&n2%2==0)po[SG(x1,++q)]=pos;
	}
	int pp=0;
	while(po[pp]==pos)pp++;//计算mex值
	return sg[x]=pp;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&T,&F);
	if(F==1)sg[1]=0;
	memset(sg,-1,sizeof(sg));
	while(T--)
	{
		memset(po,0,sizeof(po));
		scanf("%d",&n);
		int res=0;//res是总的SG值
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a);
			res^=SG(a,++q);
		}
		if(res==0)printf("0 ");
		else printf("1 ");
	}
	
	
	return 0;
}

想法3

我们可以观察到其实同一个\(x\)分成\(m\)份时会出现\(t\)和\(t+1\)两个值，我们可以把分出来的\(t\)和\(t+1\)都相同的\(m\)一起算，此时答案只有可能是\(SG(t),SG(t) \bigoplus SG(t+1)\)两种，而且存在一定的奇偶关系

我们可以发现，同一个t和t+1,m0与m0+2的答案是一样的，因此我们可以枚举t,然后算出对应的前两个m即可

可以看下面这个图，尤其是1和2的蓝色部分，规律非常明显

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,F,sg[200000];
int n,a,po[200000],q=0;
int SG(int x,int pos)
{
	if(sg[x]>-1)return q--,sg[x];
	if(x<F)return q--,0;
	sg[x]=0;
	int i=2;
	while(i<=x)
	{
		if((x/i)==(x/(i-1))&&(x/i)==(x/(i-2)))i=(x/(x/i));//算完前两个后跳过
		int x1=x/i,x2=x/i+1,n2=x-x1*i,n1=i-n2;
		if(n1%2==0&&n2%2==1)po[SG(x2,++q)]=pos;
		if(n1%2==0&&n2%2==0)po[0]=pos;
		if(n1%2==1&&n2%2==1)po[SG(x2,++q)^SG(x1,++q)]=pos;
		if(n1%2==1&&n2%2==0)po[SG(x1,++q)]=pos;
		i++;
	}
	int pp=0;
	while(po[pp]==pos)pp++;
	return sg[x]=pp;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&T,&F);
	if(F==1)sg[1]=0;
	memset(sg,-1,sizeof(sg));
	while(T--)
	{
		memset(po,0,sizeof(po));
		scanf("%d",&n);
		int res=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a);
			res^=SG(a,++q);
		}
		if(res==0)printf("0 ");
		else printf("1 ");
	}
	
	
	return 0;
}