[CF1698F] Equal Reversal 题解
一道思路非常奇妙的题，当然如果你不考虑证明无脑上也可以通过直觉把这道题给过了。
首先我们考虑这种构造一组解的题目，肯定是第一步找到判定是否有解的充要条件，然后再使用一种满足过程中充要条件不变的系统化求解，即如果充要条件满足，则通过这一种过程，一定能构造出一组解，否则不行。
那么就按部就班来考虑充要条件，首先思考这个翻转操作过程中不变的是什么，是相邻点对的集合，即原来存在一组值在位置上相邻，则翻转完后依然会相邻，因为翻转的两端是相同的，那么我们可以大胆猜想，是否只要相邻点对的集合相同，就一定有解呢？已经非常接近了，还有一个非常浅显的条件，就是首尾相同，这样是否就一定正确呢？可以尝试证明。
这里需要一些思想的火花，非常奇妙地，我们考虑一个很少用到的模型——欧拉路模型。
我们将给定的数组看成一条欧拉路，将每个值作为节点，相邻的两个值之间看成一条边，那么上面的相邻点对的集合相同就等价于图的形态相同，然后翻转操作等价于找到一个环路径将其翻转，证明过程就变成给定两条欧拉路，问是否能通过对环路径进行翻转使两路径相同，首先欧拉路的起点和终点必须是相同的，对应上面的首尾相同，否则显然一定可以可以构造的，构造方法即后面讲到的本题的构造方法。
我们顺序对 \(a\) 数组进行操作，使其从前往后慢慢变成 \(b\) 数组，那么考虑每遇到一个 \(a_i\ne b_i\)，此时一定满足 \(\forall k\in[1,i)\cap\mathbb Z,\ a_k=b_k\)，那么我们考虑在不破坏前面的情况下将 \(a_i\) 变换成 \(b_i\)，如果后面存在一个 \(j\) 满足 \(a_j=b_i,a_{j+1}=b_{i-1}\)，显然我们可以将 \([i-1,j+1]\) 区间反转，至于之后部分，因为之后的部分依然满足边集相同，所以我们可以利用类似数学归纳法的思想去解决这个问题，因为边集相同，所以 \(b_{i-1}\) 和 \(b_i\) 之间一定有边，那么既然在 \(a\) 中不存在一组 \(a_j=b_i,a_{j+1}=b_{i-1}\)，那肯定存在至少一个 \(j\) 满足 \(a_j=b_i,a_{j-1}=b_{i-1}\)，一个非常显然地思路是找到一组 \(u,v\) 满足 \(a_u=a_v,u\in(i,j],v\in(j,n]\)，然后翻转区间 \(u,v\)，那么同时 \(a_{j-1}\) 和 \(a_j\) 之间的位置关系就会反过来，最后就可以直接像上一种情况一样直接翻转，在图中，这种操作对应找一个包含这条边的环，并将环翻转，那么问题转变成这样一个环存不存在，事实上一定是存在的，欧拉路上不在环上的边只可能在从起点到终点的一条链上，假设这条边出现在链上（显然这条边只能出现一次，否则必然成环），那么这条边将整张图分成不相交的两个部分，分别包含起点和终点，因为两张图的形态相同，所以两边形态分别相同，而与起点相连的部分路径构造完毕，两条路径的端点都应该在这条边上，那我们根本就不需要去操作了，与实际情况不符，我们就自然地排除了这种情况。
那么讲完了原理，实际实现上更为简单，我们可以直接构造，刚刚我们发现了我们构造出图的方式是充要的，那么如果构造过程中发现无法构造，就可以直接判断无解，同时构造过程中有几个特点，首先，在第二种情况下，即需要找一个 \(j\) 满足 \(a_j=b_i,a_{j-1}=b_{i-1}\)，若有多个 \(j\) 满足要求，我们只要直接找第一个就好了，证明可以用上面的结论，其实还有更加简单的办法，如果有多个 \(j\) 满足要求，则可以直接去下一个 \(j\)，设为 \(j'\)，满足 \(a_{j'-1}=a_{j-1}\)，可以直接用这个 \(j'\) 将我们的第一个 \(j\) 翻转，构造答案。
代码并没有想象中那么复杂，时间复杂度是 \(\mathcal O\left(n^3\right)\)，瓶颈是要找到一组 \(u,v\) 来翻转。
