[CF1616H] Keep XOR Low 题解

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首先看到两两异或问题，考虑先把集合放在字典树上。

本着求什么设什么的原则，我们设 \(f_x\) 表示 \(x\) 的子树里满足要求的集合数，然后我们来试着转移一下：

• 当前位为 \(0\) 时，我们不能只能在同侧子树中选，则 \(f_x=f_{x_0}+f_{x_1}\)（\(x_0,x_1\) 分别表示 \(x\) 的左右儿子编号）。
• 当前位为 \(1\) 时，我们同侧子树中选择没有约束，但是异侧子树之间存在约束，而我们的 dp 状态只能接受一棵子树内部约束，所以得考虑重设状态。

我们重新设一个合理但又不合理的状态，考虑到当前位为 \(1\) 时会产生异侧子树之间的互相约束，我们设 \(f_x\) 表示 \(x\) 子树里满足要求的集合数，再额外设一个 \(g_{x,y}\) 表示 \(x,y\) 子树里满足要求的集合数（强制要求 \(x\ne y\)），我们可以再考虑转移。

• 若当前位为 \(0\)：

\[f_x=f_{x_0}+f_{x_1}-1\\ g_{x,y}=(g_{x_0,y_0}+g_{x_1,y_1}-1)+(2^{\mathrm{size}_{x_0}}-1)(2^{\mathrm{size}_{x_1}}-1)+(2^{\mathrm{size}_{y_0}}-1)(2^{\mathrm{size}_{y_1}}-1) \]

• 若当前位为 \(1\)：

\[f_x=g_{x_0,x_1}\\ g_{x,y}=g_{x_0,y_1}\times g_{x_1,y_0} \]

答案是 \(f_{\mathrm{root}}-1\)。

我们来一个一个解释转移方程。

首先是 \(f_x\) 的转移，当前位为 \(0\) 时，我们不能在异侧子树中选数，故要么从左子树选，要么从右子树选，故两边加和，同时因为加和的过程中空集被算了两次。当前位为 \(1\) 时，同侧子树中选数没有要求，异侧子树互相约束，根据定义即 \(g_{x_0,x_1}\)。

再来看 \(g_{x,y}\) 的转移，首先我们应当明确一点，\(g_{x,y}\) 的询问中，\(x,y\) 子树内部选点之间不存在约束，这样的话两个转移也就很明显了，当前位为 \(0\) 时，\(x\) 与 \(y\) 的异侧不能同时选点，所以是分别将同侧选点的方案加起来，同样的减去 \(1\) 的空集贡献，后面部分，因为我们在询问 \(g_{x_0,y_0}\) 和 \(g_{x_1,y_1}\) 时还会再统计\(x_0,x_1,y_0,y_1\) 单个子树内部选点的方案数，所以要保证当前我们统计时不存在只在单侧选点的情况，故统计时还需加上 \((2^{\mathrm{size}_{x_0}}-1)(2^{\mathrm{size}_{x_1}}-1)+(2^{\mathrm{size}_{y_0}}-1)(2^{\mathrm{size}_{y_1}}-1)\)。

时间复杂度分析方面，我们发现对于每个节点 \(x\)，它只会被 \(f_x\) 遍历或存在一个唯一的 \(y\) 被 \(g_{x,y}\) 遍历，故时间复杂度正确，为 \(\mathcal O\left(n\log|V|\right)\)。

代码就相对简单多了。