Dirichlet 前缀和
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\[f[n] = \sum_{d|n}^Ng[d], \text{已知 $g$，求 $f$}
\]
我们先考虑一种 \(\text{dp}\)。
设 \(f[i][n]\) 为当前考虑的数是 \(n\), 考虑了前 \(i\) 种质数, 严格来说是 ：
\[f[i][n] = \sum_{d |n, \frac{n}{d}只包含前i种质数}g(d)
\]
则有一个比较漂亮的转移：
\[f[i + 1][n] = f[i][n] + f[i + 1][\dfrac{n}{p_{i + 1}}]
\]
转移的意义是这样的，我们考虑 \(f[i + 1][n]\) 的来源。
- \(\frac{n}{d}\) 不包含第 \(i + 1\) 个质数的，即 \(f[i][n]\) 。
- \(\frac{n}{d}\) 包含第 \(i + 1\) 个质数的，此时要求 \(p_{i + 1} | \frac{n}{d}\)，贡献是\(f[i + 1][\frac{n}{p_{i + 1}}]\)
考虑滚掉第一维。
for(int i = 1 ; i <= cnt; ++ i ) {
for(int j = 1; j * pri[i] <= n; -- j) {
f[j * pri[i]] += f[j];
}
}
同理，考虑后缀和，倒推前缀和，倒推后缀和。
\[f[d] = \sum_{d|n}^Ng[n],\text{已知 $g$，求 $f$}
\]
for(int i = 1 ; i <= cnt; ++ i ) {
for(int j = n / pri[i]; j >= 1; -- j) {
f[j] += f[j * pri[i]];
}
}
\[f[n] = \sum_{d|n}^Ng[d],\text{已知 $f$，求 $g$}
\]
for(int i = cnt; i >= 1; i --) {
for(int j = n / pri[i]; j >= 1; -- j) {
f[j * pri[i]] -= f[j];
}
}
\[f[d] = \sum_{d|n}^Ng[n],\text{已知 $f$，求 $g$}
\]
for(int i = cnt; i >= 1; i --) {
for(int j = 1; j <= n / pri[i]; j ++) {
f[j] -= f[j * pri[i]];
}
}
