[BZOJ1297/Luogu4159][SCOI2009]迷路

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BZOJ1297

Luogu4159

首先考虑距离只有\(0,1\)的情况

那么如果设\(f[t][i][j]\)表示\(i\)到\(j\)走\(t\)时刻的方案数，有转移方程：

\(f[t][i][j]=\sum f[t-1][i][k]*f[t-1][j][k]\)

如果把\(f[t]\)看成一个\(n*n\)的矩阵就是\(f[t]=f[t-1]*f[t-1]\)

那么就可以矩阵快速幂。

现在考虑距离更大的情况：

若有一条距离为\(x\)的边\((i,j)\)，那么可以把它拆成\(x\)条长度为\(1\)的边

对每一个点建一些“虚点”，\(P(i,1)\)代表\(i\)，\(P(i,j)(j>1)\)代表\(i\)的其他虚点，那么就将\(P(i,1),P(i,2),\cdots,P(i,x)\)连上边，再连上\(P(i,x),P(j,1)\)即可。

矩阵忘记初始化。。调了1h+。。。

时间复杂度 \(O((9n)^3log_2t)\)

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define Pos(i,j) (((i)-1)*9+(j))

int n,m,t;
struct Matrix{int a[105][105];Matrix(){memset(a,0,sizeof a);}}f;

inline Matrix operator*(const Matrix &a,const Matrix &b)
{
	Matrix Res;
	for(register int i=1;i<=m;++i)
		for(register int k=1;k<=m;++k)
			for(register int j=1;j<=m;++j)
				Res.a[i][j]=(Res.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j])%2009;
	return Res;
}

inline Matrix operator^(Matrix Bas,int x)
{
	Matrix Res;
	for(int i=1;i<=m;++i)Res.a[i][i]=1;
	for(;x;x>>=1,Bas=Bas*Bas)
		if(x&1)Res=Res*Bas;
	return Res;
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&t),m=n*9;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		for(int j=1;j<9;++j)f.a[Pos(i,j)][Pos(i,j+1)]=1;
		for(int j=1,d;j<=n;++j)
			if(scanf("%1d",&d),d)
				f.a[Pos(i,d)][Pos(j,1)]=1;
	}
	Matrix Res=f^t;
	printf("%d\n",Res.a[Pos(1,1)][Pos(n,1)]);
	return 0;
}