[BZOJ2742/Luogu4598][HEOI2012]Akai的数学作业

题目链接：

BZOJ2742

Luogu4598

好想吐槽某谷评分制度。。为什么我评个蓝之后从紫变成了黑。。。

首先，设解\(x=\frac{p}{q}(Gcd(p,q)=1)\)

那么就有\(\sum_{i=0}^n\limits a_ix^i=0\)

\(\sum_{i=0}^n\limits a_i(\frac{p}{q})^i=0\)

乘以\(q_i\)通分：\(\sum_{i=0}^n\limits a_ip^iq^{n-i}=0\)

那么可以推导出：

\(\sum_{i=0}^n\limits a_ip^iq^{n-i}\equiv a_0q^n\equiv 0(mod\ p)\)Mark

\(\sum_{i=0}^n\limits a_ip^iq^{n-i}\equiv a_np^n\equiv 0(mod\ q)\)

因为\(p,q\)互质那么得到结论：\(p|a_0,q|a_n\)

暴力枚举\(p,q\)代入方程判断合法即可。

如何判断？可以选取一个模数看两边在同余系下是否相同（详情可以参考Luogu2312解方程）

不放心可以多选几个进行测试。

还有几个需要注意的问题：

\(a_0=0\)怎么办？怎么枚举\(p\)？

找到一个最小的\(i\)使得\(x_i\not=0\)，那么枚举\(x_i\)的因子即可（此时上文推导Mark处的\(mod\ p\)就变成了\(mod\ p^{i+1}\)）

第二是要判断负数解，即\(-\frac{p}{q}\)

最后需要特判最终解\(x=\frac{p}{q}=0\)的情况（即\(a_0=0\)）。

时间复杂度：能过

代码：

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
typedef long long ll;

inline int Abs(const int x){return x>=0?x:-x;}
int Gcd(const int a,const int b){return b?Gcd(b,a%b):a;}
ll Pow(ll a,ll b,const int p)
{
	ll Res=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)Res=Res*a%p;
	return Res%p;
}
int n,a[105];
const int Mod=1000000007;
struct Fraction
{
	int p,q;
	inline bool operator<(const Fraction &o)const
	{return (double)p/q<(double)o.p/o.q;}//分数 p为分子 q为分母
};
std::vector<int> Factor[2];//a[0](a[i])和a[n]的因子
std::vector<Fraction> Answer;

void Get_Factor(const int Number,std::vector<int> &Result)//求Number的因子，存放在Result中
{for(int i=1;i<=Number;++i)if(Number%i==0)Result.push_back(i);}//O(N)遍历已经足够

void Check_Answer(int p,int q)//判断解可行性
{
	ll g=Gcd(Abs(p),Abs(q)),xs=1,Value=0,x=p*Pow(q,Mod-2,Mod)%Mod;
	if(g>1)return;//防止解重复，如1/2,2/4,3/6...
	for(int i=0;i<=n;++i)
	{
		Value=(Value+a[i]*xs)%Mod;
		xs=xs*x%Mod;
	}
	if(!Value)Answer.push_back((Fraction){p,q});
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=0;i<=n;++i)
		if(a[i]!=0)Get_Factor(Abs(a[i]),Factor[0]),i=n;
	Get_Factor(Abs(a[n]),Factor[1]);
	if(!a[0])Answer.push_back((Fraction){0,1});
	for(int i=0;i<(int)Factor[0].size();++i)
		for(int j=0;j<(int)Factor[1].size();++j)
		{
			Check_Answer(+Factor[0][i],Factor[1][j]);
			Check_Answer(-Factor[0][i],Factor[1][j]);
		}
	std::sort(Answer.begin(),Answer.end());
	printf("%d\n",(int)Answer.size());//按要求输出解
	for(int i=0;i<(int)Answer.size();++i)
		if(Answer[i].q==1)printf("%d\n",Answer[i].p);
		else printf("%d/%d\n",Answer[i].p,Answer[i].q);
	return 0;
}