JZOJ.5236【NOIP2017模拟8.7】利普希茨
这里有一个结论:f(A)的最大值是相邻的两点的差值。
我们可以设想一下,一个区间被里面min和max分成了三段,其中i=min,j=max,那么设对应的f(A)的值为a,
那么我们可以枚举里面的左端点i右端点j来计算f(A)的值与a比较
首先很肯定的一点 区间[i,j]不能跨过min和max,那么我们会对这三段区间不断细分,到最后也就只剩下相邻的两个点了,此时就是最大值和最小值(这个似乎不能证明)
还有个几何证明:f(A)可以看成一个斜率的绝对值,那么对于坐标上的三个点a,b,c来说,它们三点确定的直线中,很显然横坐标越靠近的两个点斜率会越大
(转自mcw的证明)令$\Delta_i=A_{i+1}-A_i$,则$\left\lceil\frac{|A_j-A_i|}{j-i}\right\rceil=\left\lceil\frac{|\sum_{k=i}^{j-1}\Delta_k|}{j-i}\right\rceil=\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$,显然会有$\Delta_i\,..\,\Delta_{j-1}$中的一项大于等于$\overline{\Delta_{i\,..\,j-1}}$
所以这题就变成了维护差值的修改和最值了,线段树就可以了。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstdlib> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 int maxx[4000000],n,q,a[1000002],x,l,r,d[1000002]; 9 void buildtree(int root,int l,int r){ 10 if (l==r) {maxx[root]=d[l]; return;} 11 int mid=(l+r)>>1; 12 buildtree(root<<1,l,mid); 13 buildtree(root<<1|1,mid+1,r); 14 maxx[root]=max(abs(maxx[root<<1]),abs(maxx[root<<1|1])); 15 } 16 void change(int root,int l,int r,int x,int c){ 17 if (l==r){ 18 maxx[root]+=c; 19 return; 20 } 21 int mid=(l+r)>>1; 22 if (x<=mid) change(root<<1,l,mid,x,c); 23 if (x>mid) change(root<<1|1,mid+1,r,x,c); 24 maxx[root]=max(abs(maxx[root<<1]),abs(maxx[root<<1|1])); 25 } 26 int get(int root,int l,int r,int x,int y){ 27 if ((x<=l)&&(y>=r)) return abs(maxx[root]); 28 int ans=0; 29 int mid=(l+r)>>1; 30 if (x<=mid) ans=max(ans,get(root<<1,l,mid,x,y)); 31 if (y>mid) ans=max(ans,get(root<<1|1,mid+1,r,x,y)); 32 return ans; 33 } 34 int main(){ 35 freopen("lipschitz.in","r",stdin); 36 freopen("lipschitz.out","w",stdout); 37 scanf("%d",&n); 38 for (int i=1;i<=n;i++){ 39 scanf("%d",&a[i]); 40 d[i]=a[i]-a[i-1]; 41 } 42 buildtree(1,1,n); 43 scanf("%d",&q); 44 while (q--){ 45 scanf("%d%d%d",&x,&l,&r); 46 if (x==0) {change(1,1,n,l,r-a[l]);change(1,1,n,l+1,-r+a[l]); a[l]=r;} 47 if (x==1) printf("%d\n",get(1,1,n,l+1,r)); 48 } 49 return 0; 50 }
数学很重要