博弈论之Nim游戏

       OI里，博弈论就是两个聪明绝顶的人玩不公平的游戏。

        Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种，属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）。

        通常的Nim游戏的定义是这样的：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

        我们都知道，对于N堆石子，判断第一个人是否赢是将每个石子进行异或运算，如果结果为0则第一个人取得必输，否则必赢。

        但主要是为什么用异或？为什么等于零则是先者必输？

        首先先说一下大家都知道的定义吧：P-position和N-position。

        P-position：P即Previous，该局面为P-position，则代表着这个局面先行者必输，后行者必赢。

        N-position：N即Next，该局面为N-position，则代表着这个局面的后行者必输，先行者必赢。

        很显然，对于无法移动的局面（Terminal position）为P-position；可以移动到P-position局面的必为N-position局面（就是这个局面是先行者必输的话，它的上一个局面一定是后行者必输）；所有移动都导致N-position局面的是P-position。

        也就是说，对于一个局面A是 P-position还是N-position，如果它的子局面（所谓子局面就是这个局面的能够发展成的后续局面，比如两个石子堆个数为（3,3），那么它的子局面为(0,3)(1,3)(2,3)）存在先者必输P-position的局面，那么局面A就是后者必输N-position的局面，如果它的子局面全部是后者必输N-position的局面，那么局面A就是先者必输P-position的局面（子局面的后者就是局面A的操作者）。

        为此我们要判断的就是一开始是属于什么局面，根据上述定义可知这个局面的判定取决于它的子局面，而它的子局面又取决于它的子子局面……直到这个局面能够独立判断是P-position还是N-position，然后再回溯判断，对于这个递归的算法你可能已经敏锐地看到有大量重复的子问题了，需要记忆化搜索或DP，这实际上也就是博弈论的本质而已，只是我们存在一种比搜索更优的方法——异或。

        为什么用异或呢？因为异或有一种我们需要的神奇的性质——消去律。

       1.对于Terminal position只有一个，也就是全为0，结果也为0，故先行者必输。

       2.某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^......^an=k(k不等于0)，则必有一种局面ai能够通过合法的步骤转换为ai'，使结果变为0（k二进制中的某一位中的1必定是某个ai贡献过来的），其中ai^k=ai'<ai（ai在k的二进制下最高位是1），所以是后行者必输。

      3.某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^......^an=0，若ai能够通过合法的步骤转换成另一个局面ai'使结果也为0，那么a1^a2^..^ai^...^an=a1^a2^..^ai'^...^an，根据消去律，得到ai=ai'，这是不合法的移动（因为还是它本身），所以是先行者必输。

      而这样，我们就可以在O（n）内知道应该是先行还是后行了。

      关于SG函数，我们先定义一种作用在集合的运算mex，定义结果为该集合中未出现的最小非负整数，如mex{0,1,2,4}=3、 mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

      对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继（就是子局面） }。

      实际上，所以Nim游戏都可以抽象成一个模型：一个有向图中，一个棋子代表着当前局面，每个顶点代表着每个局面，而每位选手则负责移动棋子，直到某个选手无法移动棋子则为负。

     所以对于SG函数的性质，跟上面所讲的1,2,3是一样的：

      1.对于Terminal position对应的顶点，就是没有出边，其g（x）=0;

      2.若该点ai的g（ai）不为0，则它的后继里存在一个顶点ai'它的g（ai'）=0；

      3.若该点ai的g（ai）=0；则它的后继里没有一个顶点ai'它的g（ai'）=0。

      事实上，如果有多堆石子，我们可以把每堆石子都抽象成一个棋子在图中移动，那么我们所要做的就是讲每个棋子所在顶点的SG值算出来，异或一下即可。

      稍微变一下，有n堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗， 我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆x颗石子，每次可以取1、2、3颗，很容易看出x颗石子的局面的SG值是x%4（数学归纳法可以证明）。第2个子游戏也是只有一堆 石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏有x颗石子时的SG值是x%2。第3个游戏有n-2堆石子，就是一个Nim游戏。对于原游戏的每 个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，然后就可以根据这个SG值判断是否有必胜策略以及做出决策了。

     g（x）=b，说明当前局面可以移动到g（a）=b-1，b-2，b-3.......1,0上。

      所以，对于我们来说，我们是将一个复杂的游戏分成许许多多若干个简单的小游戏，再分别求出SG值，再全部异或起来就是原游戏的SG值了。

      关于题目所说的完美操作，双方足够聪明，指的就是当前这个局面如果能够赢得这场游戏的话，这个人就会顺着这个能够赢的这条路径进行下去，就是N-position。