AtCoder Beginner Contest 373

省流版

• A. 暴力即可
• B. 求出字母位置，绝对值相加即可
• C. 显然答案为两个数组的最大值的和
• D. 注意直接BFS的点权范围不超过题目范围，直接BFS即可
• E. 发现单调性，二分票数，用前缀和\(O(1)\)判断可行性即可
• F. 朴素背包DP，相同重量的物品一起考虑，用优先队列求解\(l\)个相同重量物品最大价值的最优取法即可

A - September (abc373 A)

题目大意

给定\(12\)个字符串，问第 \(i\)个字符串的长度是不是 \(i\)。

解题思路

按照题意依次判断即可，python可以一行。

神奇的代码

print(sum(i + 1 == len(input().strip()) for i in range(12)))

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B - 1D Keyboard (abc373 B)

题目大意

给定一个键盘，从左到右的\(26\)个字母分别是什么。

现在依次输入abcdefgh...xyz，初始手指在a处，然后要移动到b处按b，然后移动到c处按c...

问输入完这\(26\)个字符需要移动的距离数。

解题思路

当前手指在位置\(x\)，移动到下一个字母的位置 \(y\) ，距离数是\(|x-y|\)，求出 \(pos[i]\)表示字符 \(i\)的位置，答案就是 \(|pos[i] - pos[i-1]|\)的累加。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    string s;
    cin >> s;
    array<int, 26> pos{};
    for (int i = 0; i < 26; ++i)
        pos[s[i] - 'A'] = i;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i < 26; ++i)
        ans += abs(pos[i] - pos[i - 1]);
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}

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C - Max Ai+Bj (abc373 C)

题目大意

给定两个数组\(a,b\)，分别从中选一个数，使得和最大。

解题思路

显然选的两个数分别为最大的数即可。python可以两行。

神奇的代码

input()
print(max(map(int, input().split())) + max(map(int, input().split())))

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D - Hidden Weights (abc373 D)

题目大意

给定一张有向图，边有边权。

确定点权\(x_i\)，满足对于每一条有向边 \(u_i \to v_i, w_i\)，满足 \(x_{v_i} - x_{u_i} = w_i\)。

题目保证有解。

解题思路

视为无向图，但反过来的边权是\(-w_i\)，然后从未访问过的点开始\(BFS\)，其点权为\(0\)，然后按照上述等式得到周围点的点权即可。

点数\(n \leq 2 \times 10^5\)，边权 \(\leq 10^9\)，所以点权不会超过\(2 \times 10^{14}\)，满足题意范围的 \(10^{18}\)。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<array<int, 2>>> edge(n);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        --u, --v;
        edge[u].push_back({v, w});
        edge[v].push_back({u, -w});
    }
    vector<LL> ans(n);
    queue<int> team;
    vector<int> vis(n);
    auto BFS = [&](int st) {
        team.push(st);
        vis[st] = 1;
        while (!team.empty()) {
            int u = team.front();
            team.pop();
            for (auto& [v, w] : edge[u]) {
                if (vis[v])
                    continue;
                ans[v] = ans[u] + w;
                vis[v] = 1;
                team.push(v);
            }
        }
    };
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        if (!vis[i])
            BFS(i);
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cout << ans[i] << " \n"[i == n - 1];

    return 0;
}

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E - How to Win the Election (abc373 E)

题目大意

\(n\)个候选人， \(k\)张票。最终票数最多的\(m\)个候选人获胜，同票数的都会获胜，因此可能获胜的可能会超过 \(m\)个 。

现已知部分投票情况。 问每一个候选人，需要给他至少多少张票，才能使得他一定会获胜，即无论剩余票数如何分配，他始终都是票数前\(m\)多的。

解题思路

对于当前第\(i\)个候选人，他的票数\(v_i\)目前排第 \(rank_i\)名，那他至少还要多少票才能稳赢呢？

最朴素的想法就是，枚举这个票数，即假设他得到了\(x\)票，看看能否稳赢？ （如果你没想到二分，可能是因为这个最朴素的做法没想到——通过增设条件来解决问题，从这个条件其实是很容易看出来具有单调性，进而可以二分）

那能否稳赢呢？假设他得到了\(x\)票，那此时的票数是 \(v_i + x\)，通过二分可以得到该票数的排名，假设是\(r_i\)名。然后还剩下\(left\)张票没投。

• 如果 \(r_i > m\)，那他必不可能赢了。
• 如果 \(r_i \leq m\)，即此时他前面只有 \(r_i - 1\)个人，剩下的票分配给其他人，只要少于 \(danger = m - r_i + 1\)个人的票数超过他，那他就能赢。

考虑最坏情况，即为票数\(\leq v_i + x\)的最大的\(danger\)个人的票数达到\(v_i + x + 1\)所需要的票数，少于剩余未投的票数 \(left\)，那第 \(i\)个人一定是票数前 \(m\) 大的，即稳赢。而前者的票数计算相当于是\(danger \times (v_i + x + 1) - \sum v_j\) ，事先对\(v\)排序，后者其实就是一个区间和，可以用前缀和优化，在 \(O(1)\)的时间内得到。

到此，我们可以 \(O(1)\)判断当前枚举的票数 \(x\)是不是稳赢的。但枚举的票数的范围有 \(O(k)\)，但容易发现该票数与是否稳赢之间具有单调性——给越多票，稳赢的可能性越高。

因此我们不必一个一个枚举票数，而是二分该票数，然后 通过前缀和，\(O(1)\) 判断是否可行即可。

对所有人都这么求一遍，总的时间复杂度就是\(O(n \log k)\)。

上述验证的想法其实很朴素，考虑最坏情况，就看票数小于他的那么些人能否赶超。所需票数的计算可以用前缀和优化。

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    LL k;
    cin >> n >> m >> k;
    vector<LL> a(n);
    for (auto& i : a)
        cin >> i;
    vector<int> id(n);
    iota(id.begin(), id.end(), 0);
    sort(id.begin(), id.end(), [&](int i, int j) { return a[i] > a[j]; });
    vector<LL> sum(n);
    sum[0] = a[id[0]];
    for (int i = 1; i < n; ++i)
        sum[i] = sum[i - 1] + a[id[i]];
    vector<LL> ans(n);
    LL left = k - accumulate(a.begin(), a.end(), 0ll);
    auto get_sum = [&](int l, int r, int ex) {
        if (l > r)
            return 0ll;
        LL s = 0;
        if (l <= ex && ex <= r) {
            r += 1;
            s -= a[id[ex]];
        }
        s += sum[r] - (l ? sum[l - 1] : 0);
        return s;
    };
    auto solve = [&](int pos, int rank) {
        auto check = [&](LL votes) {
            LL now_votes = a[pos] + votes;
            int now_rank = lower_bound(id.begin(), id.end(), now_votes,
                                       [&](int x, LL v) { return a[x] > v; }) -
                           id.begin();
            int left_candi = m - now_rank;
            LL demand = left_candi * (now_votes + 1) -
                        get_sum(now_rank, now_rank + left_candi - 1, rank);
            LL ano = left - votes;
            return ano < demand;
        };

        LL l = -1, r = left;
        while (l + 1 < r) { //(l, r]
            LL mid = (l + r) >> 1;
            if (check(mid))
                r = mid;
            else
                l = mid;
        }
        return check(r) ? r : -1;
    };
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ans[id[i]] = solve(id[i], i);
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        cout << ans[i] << " \n"[i == n - 1];

    return 0;
}

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F - Knapsack with Diminishing Values (abc373 F)

题目大意

\(n\)种物品，重量 \(w_i\)，价值\(v_i\)，无限个。

背包容量 \(W\)，现在选物品放入背包，不超背包容量，价值最大。

当第 \(i\)种物品放 \(k\)个时，其价值为 \(kv_i - k^2\)。

解题思路

考虑最朴素的背包做法，即\(dp[i][j]\)表示考虑前 \(i\)个物品，放的容量是 \(j\)的最大价值。转移即考虑当前物品放多少个，其时间复杂度为 \(O(nw^2)\)。此处 \(n \leq 3000\)，无法通过。

究其复杂度，主要在考虑每种物品，其重量是\(w_i\)，我们需要考虑该物品的数量为 \(1,2,...,\lfloor \frac{W}{w_i} \rfloor\) 。如果每个物品的重量都挺小的，那么物品数量的数量级就是\(O(W)\)。转移的复杂度就是 \(O(W)\)。

怎么办呢？对于重量都小的，我们能否一起考虑呢？

即我们不依次考虑每种物品，而是依次考虑重量为\(i\)的所有物品，即设 \(dp[i][j]\)表示考虑重量\(\leq i\)的物品，放的容量是 \(j\)的最大价值。这样考虑的物品数量就是\(O(\frac{W}{i})\)，对所有的\(i\)的转移复杂度累加，其复杂度就是 \(O(w^2 \log w)\)。

复杂度对了，考虑如何转移呢，即\(dp[i][j]\)，然后枚举选重量为 \(i\)的物品的数量个数 \(l\)，假设其物品的价值分别是 \(v_1,v_2,v_3,...\)，现在要取 \(l\)个，怎么取最优？

由于每种物品的价值，随着取的个数的增加，其价值会减少，最朴素的想法就是一个一个取。

考虑每种物品是一行，从左到右的物品的价值依次减少，即设\(f_i(k) = kv_i - k^2\)，第一行第一个物品的价值是\(f_1(1)\)，第二个物品的价值就是\(f_1(2) - f_1(1)\)，第三个物品的价值就是 \(f_1(3) - f_1(2)\)，而第二行的第一个物品的价值就是\(f_2(1)\)。

上述怎么取的问题就变成，每行取一个前缀的物品，一共 \(l\)个，价值最大。

我们就考虑每行的第一个未取的物品，每次就取这些行里，价值最大的。如何快速找到这些的最大值，用优先队列维护即可，队列里的元素最多也就\(O(n)\)。

由于取物品数量\(l\)是从 \(1\)开始枚举的，因此求最优的取法就这样依次迭代，从优先队列里取价值最大的物品即可。

总的时间复杂度是 \(O(w^2 \log w \log n)\)

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;

const LL inf = 1e18;

int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, w;
    cin >> n >> w;
    vector<vector<int>> a(w + 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int w, v;
        cin >> w >> v;
        a[w].push_back(v);
    }
    vector<LL> dp(w + 1, -inf);
    dp[0] = 0;
    auto f = [&](int k, int v) { return 1ll * k * v - k * k; };
    auto get_val = [&](int k, int v) { return f(k, v) - f(k - 1, v); };
    for (int i = 0; i <= w; i++) {
        if (!a[i].empty()) {
            vector<LL> dp2 = dp;
            for (int j = 0; j <= w; j++) {
                priority_queue<pair<LL, pair<int, int>>> q;
                for (auto x : a[i]) {
                    q.push({get_val(1, x), {1, x}});
                }
                LL sum = 0;
                for (int l = i; j + l <= w; l += i) {
                    auto [val, p] = q.top();
                    auto [k, v] = p;
                    q.pop();
                    sum += val;
                    dp2[j + l] = max(dp2[j + l], dp[j] + sum);
                    q.push({get_val(k + 1, v), {k + 1, v}});
                }
            }
            dp.swap(dp2);
        }
    }
    LL ans = *max_element(dp.begin(), dp.end());
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}

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G - No Cross Matching (abc373 G)

题目大意

二维平面，给定两组点\(p,q\)各\(n\)个，打乱 \(q\)的顺序，使得\(n\)个线段 \(p_i \to q_i\)互不相交。

给定一种 \(q\)的顺序或告知不可能。

解题思路

<++>

神奇的代码

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