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🔖NTT 并查集单调队列思维最小生成树滑动窗口期望 DP 状压DP

2024-05-05 00:19阅读: 1125评论: 2推荐: 6

AtCoder Beginner Contest 352

A - AtCoder Line (abc352 A)

题目大意

给定 $x, y,z$ ，问 $z$ 是否在 $x,y$ 之间。

解题思路

如果 $x > y$ ，则交换 $x,y$ ，然后判断是否有 $x \leq z \leq y$ 即可。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
 
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, x, y, z;
    cin >> n >> x >> y >> z;
    if (x > y)
        swap(x, y);
    if (x <= z && z <= y)
        cout << "Yes" << '\n';
    else
        cout << "No" << '\n';
 
    return 0;
}

B - Typing (abc352 B)

题目大意

给定字符串 $s,t$ 。 $s$ 是 $t$ 的子序列。现就近匹配，找到 $s$ 的每个字符就近匹配到的 $t$ 中的每个下标。

解题思路

按照就近匹配原则，匹配一次子序列即可。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
 
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    string s, t;
    cin >> s >> t;
    auto pos = t.begin();
    for (auto c : s) {
        while (pos != t.end() && *pos != c) {
            pos = next(pos);
        }
        cout << (pos - t.begin() + 1) << ' ';
        pos = next(pos);
    }
    cout << '\n';
 
    return 0;
}

C - Standing On The Shoulders (abc352 C)

题目大意

给定 $n$ 个巨人，巨人有肩高 $a_i$ 和头高 $b_i$ 。

现依次放置每个巨人，每个巨人放在上一个巨人的肩上。

问最高的巨人的头高有多高。

解题思路

枚举最后的巨人是哪个，那么其头高就是 $b_i + \sum_{j \neq i} a_j$ 。

所有可能的情况取最大值即为答案。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
 
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n), b(n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
        cin >> a[i] >> b[i];
    LL suma = accumulate(a.begin(), a.end(), 0LL);
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ans = max(suma - a[i] + b[i], ans);
    }
    cout << ans << '\n';
 
    return 0;
}

D - Permutation Subsequence (abc352 D)

题目大意

给定一个排列 $p_i$ 和一个数 $k$ 。

找出 $k$ 个下标，最小化下标极差，使得对应的 $p_i$ 组成的集合是一个连续的 $k$ 个数的集合。

解题思路

记 $pos[i]$ 表示数 $i$ 在原排列的位置。枚举这连续的 $k$ 个数，比如是 $i,i+1,i+2,...,i+k-1$ ，那此时的极差就是 $\max_{i \leq j \leq i+k-1}(pos[j]) - \min_{i \leq j \leq i+k-1}(pos[j])$

对所有的 $i$ 取最小值，就是答案。

按顺序枚举 $i$ ，此时就是求一个长度为 $k$ 的 $pos$ 区间的最大值和最小值，即经典的滑动窗口问题，用单调维护即可。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
 
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> pos(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        --x;
        pos[x] = i;
    }
    int ans = n + 1;
    deque<int> minn, maxx;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        while (!minn.empty() && i - minn.front() >= k) {
            minn.pop_front();
        }
        while (!maxx.empty() && i - maxx.front() >= k) {
            maxx.pop_front();
        }
        while (!minn.empty() && pos[i] <= pos[minn.back()]) {
            minn.pop_back();
        }
        while (!maxx.empty() && pos[i] >= pos[maxx.back()]) {
            maxx.pop_back();
        }
        minn.push_back(i);
        maxx.push_back(i);
        if (i >= k - 1)
            ans = min(ans, pos[maxx.front()] - pos[minn.front()]);
    }
    cout << ans << '\n';
 
    return 0;
}

E - Clique Connect (abc352 E)

题目大意

给定一张无向图，初始无边。

现依次进行 $q$ 次操作，每次操作给定 $k_i$ 个点 $x_{i,j}$ 和边权 $c_i$ ，将这 $k_i$ 个点俩俩连边，边权为 $c$ 。

问最后图是否连通，若连通，问最小生成树的权值。

解题思路

用并查集维护连通性，对于每次操作，就依次合并相邻两点 $x_{i,j},x_{i,j+1}$ 即可。那么总的复杂度是 $O(\sum k_i)$ 。考虑如何求最小生成树。

参考 $kruskal$ 算法，直接从边权最小的开始连边，连边就 $x_{i,j},x_{i,j+1}$ 相连即可，如果它们未相连的话。这个过程可以在并查集合并时顺便做了。

因此时间复杂度就是 $O(\sum k_i)$ 。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
 
class dsu {
  public:
    vector<int> p;
    vector<int> sz;
    int n;
 
    dsu(int _n) : n(_n) {
        p.resize(n);
        sz.resize(n);
        iota(p.begin(), p.end(), 0);
        fill(sz.begin(), sz.end(), 1);
    }
 
    inline int get(int x) { return (x == p[x] ? x : (p[x] = get(p[x]))); }
 
    inline bool unite(int x, int y) {
        x = get(x);
        y = get(y);
        if (x != y) {
            p[x] = y;
            sz[y] += sz[x];
            return true;
        }
        return false;
    }
};
 
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<pair<vector<int>, int>> a(m);
    for (auto& [p, c] : a) {
        int k;
        cin >> k >> c;
        p.resize(k);
        for (auto& i : p) {
            cin >> i;
            --i;
        }
    }
    vector<int> id(m);
    iota(id.begin(), id.end(), 0);
    sort(id.begin(), id.end(),
         [&](int i, int j) { return a[i].second < a[j].second; });
    dsu d(n);
    LL ans = 0;
    for (auto& i : id) {
        auto& [p, c] = a[i];
        for (auto j : p) {
            if (d.unite(p[0], j)) {
                ans += c;
            }
        }
    }
    if (d.sz[d.get(0)] != n) {
        ans = -1;
    }
    cout << ans << '\n';
 
    return 0;
}

F - Estimate Order (abc352 F)

题目大意

$n$ 个人，排名唯一，给定关于这些人的 $m$ 条排名信息，问每个人的名次是否能唯一确定。

信息为 $i,j,c_k$ ，表示第 $i$ 个人的名次 $r_i$ 与第 $j$ 个人的名字 $r_j$ 的差 $r_i - r_j = c_k$ 。

解题思路

考虑朴素做法怎么做。

$n$ 个人，每条信息就给两个人连边，然后就得到有若干个连通块。

对于每个连通块，如果我指定其中一个人的排名，那该连通块的其他人的排名都唯一确定了。

朴素的做法就是依次指定每个连通块中任意一个人的排名，然后求得该连通块其他人的排名，没有冲突的话，就继续指定下一个连通块的任意一个人的排名。如果存在合法的排名，则记录下来。最后看每个连通块合法的排名的个数是否是 $1$ ，是则唯一确定，否则不唯一。

朴素做法的时间复杂度 $O(n!)$ ，这里可以加点优化，比如只有一个点的我们不考虑，那么最多只有 $\frac{n}{2}$ 个连通块，则此时的复杂度就是 $A_{n}^{\frac{n}{2}}$ ，有 $5e8$ 。

考虑优化，在搜索时我们保留了每个数字用在了哪个连通块上，因此其状态数是一个阶乘，但事实上这个状态是冗余的——我们只需要知道用了哪些数字，而不需要这些数字用在了哪些连通块上。

考虑转移，对当前连通块，我们需要枚举一个没用过的数字，然后求该连通块每个人的排名，看看排名是否唯一。也就是说，我们需要的状态仅仅只是数字的是否使用，就可以做到转移，而不需要知道数字用在了哪里，由此状态数可以从阶乘级别降到指数级别。

然后，再记忆化搜索一下就解决了。

即设 $dp[s]$ 表示当前使用的数字状态是 $s$ ，剩余连通块填剩余数字，是否存在可行解。转移就枚举该连通块的一个数字，然后 $BFS$ 下得到整个连通块需要用到的数字 $nxt$ ，没冲突的话，如果 $dp[s | nxt]$ 可行，则说明当前连通块填该数字是合法的，记录一下。

最后看每个连通块的合法数字个数是否唯一，是则能唯一确定。

这个 $dp$ 的设计方式其实就是朴素的记忆化搜索，跟递归形式的数位 $dp$ 很类似。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
 
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<array<int, 2>>> edge(n);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        --a, --b;
        edge[a].push_back({b, -c});
        edge[b].push_back({a, c});
    }
    int up = (1 << n);
    vector<int> used(n, 0);
    vector<int> st;
    auto bfs1 = [&](int st) {
        queue<int> team;
        team.push(st);
        used[st] = 1;
        while (!team.empty()) {
            int u = team.front();
            team.pop();
            for (auto& [v, c] : edge[u]) {
                if (!used[v]) {
                    used[v] = 1;
                    team.push(v);
                }
            }
        }
    };
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (used[i]) {
            continue;
        }
        st.push_back(i);
        bfs1(i);
    }
 
    vector<int> dp(up, -1);
    vector<set<int>> candidate(st.size());
    dp.back() = 1;
 
    auto bfs2 = [&](int st, int sc) -> array<int, 2> {
        int ret = 0;
        queue<array<int, 2>> team;
        vector<int> val(n, -1);
        team.push({st, sc});
        val[st] = sc;
        ret |= (1 << sc);
        int sz = 0;
        while (!team.empty()) {
            auto [u, c] = team.front();
            team.pop();
            sz++;
            for (auto& [v, w] : edge[u]) {
                int nc = c + w;
                if (val[v] == -1) {
                    if (nc < 0 || nc >= n || (ret >> nc) & 1) {
                        return {false, 0};
                    }
 
                    ret |= (1 << nc);
                    val[v] = nc;
                    team.push({v, nc});
                } else if (val[v] != nc) {
                    return {false, 0};
                }
            }
        }
        assert(sz == __builtin_popcount(ret));
        return {true, ret};
    };
    auto dfs = [&](auto&& dfs, int state, int pos) -> int {
        if (dp[state] != -1)
            return dp[state];
        bool ok = false;
        int start = st[pos];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            auto [valid, nxt] = bfs2(start, i);
            if (valid && ((state & nxt) == 0) &&
                dfs(dfs, state | nxt, pos + 1)) {
                ok = true;
                candidate[pos].insert(i);
            }
        }
        return dp[state] = ok;
    };
    dfs(dfs, 0, 0);
 
    vector<int> ans(n, -2);
    auto bfs3 = [&](int st, int w) {
        queue<array<int, 2>> team;
        team.push({st, w});
        ans[st] = w;
        while (!team.empty()) {
            auto [u, c] = team.front();
            team.pop();
            for (auto& [v, w] : edge[u]) {
                int nc = c + w;
                if (ans[v] == -2) {
                    ans[v] = nc;
                    team.push({v, nc});
                }
            }
        }
    };
    for (int i = 0; i < st.size(); ++i) {
        if (candidate[i].size() == 1) {
            bfs3(st[i], *candidate[i].begin());
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << ans[i] + 1 << " \n"[i == n - 1];
    }
 
    return 0;
}

G - Socks 3 (abc352 G)

题目大意

抽屉里有 $n$ 个颜色的袜子，各有 $a_i$ 只。

现每次从抽屉里等概率取一只袜子，不放回，直到取出两只颜色相同的袜子为止。

问取出的袜子的期望只数。

解题思路

假设恰好取出 $i$ 只袜子后，有两只颜色相同的概率是 $q_i$ ，那么期望次数即为 $\sum i q_i$ 。（这个式子比较经典，是一个后缀和的后缀和的展开式。）

假设取出 $i$ 只或以上后，有两只颜色相同的概率是 $p_i$ ，即 $p_i = \sum_{j \geq i} q_i$ ，是个后缀和，则 $q_i = p_{i} - p_{i+1}$ 。代替上述期望式子得 $\sum p_i$ 。

$p_{i+1}$ 表示需要取超过 $i$ 只袜子才能有两只袜子颜色相同的概率，换句话说，它就是取 $i$ 只袜子，没有两只颜色相同的概率（这才需要取 $i+1$ 只或以上才能有两只袜子颜色相同，它不意味着第 $i+1$ 只能取到颜色相同）。

而取 $i$ 只颜色各不相同的概率，可先枚举对应的 $i$ 种颜色，然后 $\frac{\text{对应数量相乘}}{\text{总情况数}}$ 。从生成函数的角度考虑，每种颜色的生成函数是 $a_i x + 1$ ，则所有颜色的生成函数相乘 $(a_1x+1)(a_2x+1)...(a_nx+1)$ 的结果的 $x^i$ 的系数就是上述的分子，分母（总情况数）就是 $C_{tot}^k$ ， $tot = \sum a_i$ 。

因此需要求出 $(a_1x+1)(a_2x+1)...(a_nx+1)$ 的结果，朴素的乘法需要进行 $O(n)$ 次，每次用 $ntt$ 优化的话，总复杂度也得是 $O(n^2 \log n)$ 。

因为每次相乘，多项式的最高幂才 $+1$ ，可以考虑分治，假设 $f(l,r) = \prod_{l \leq i \leq r} (a_ix + 1)$ ，要求 $f(1,n)$ ，则先求 $f(1, \frac{n}{2})$ 和 $f(\frac{n}{2} + 1, n)$ ，再两者相乘，就得到 $f(1,n)$ ，而 $f(1, \frac{n}{2})$ 和 $f(\frac{n}{2} + 1, n)$ 就递归求解。这样每次相乘，多项式的最高幂就会翻倍，最多翻 $\log$ 次就得到结果，而不是之前的 $n$ 次。即总的时间复杂度是 $O(n \log^2 n)$ 。

代码是贴了 $tourist$ 的 $ntt$ 板子和取模板子。

（感觉转换部分不能一眼看透，上面说的感觉不像是本质

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
 
template <typename T> T inverse(T a, T m) {
    T u = 0, v = 1;
    while (a != 0) {
        T t = m / a;
        m -= t * a;
        swap(a, m);
        u -= t * v;
        swap(u, v);
    }
    assert(m == 1);
    return u;
}
 
template <typename T> class Modular {
  public:
    using Type = typename decay<decltype(T::value)>::type;
 
    constexpr Modular() : value() {}
    template <typename U> Modular(const U& x) { value = normalize(x); }
 
    template <typename U> static Type normalize(const U& x) {
        Type v;
        if (-mod() <= x && x < mod())
            v = static_cast<Type>(x);
        else
            v = static_cast<Type>(x % mod());
        if (v < 0)
            v += mod();
        return v;
    }
 
    const Type& operator()() const { return value; }
    template <typename U> explicit operator U() const {
        return static_cast<U>(value);
    }
    constexpr static Type mod() { return T::value; }
 
    Modular& operator+=(const Modular& other) {
        if ((value += other.value) >= mod())
            value -= mod();
        return *this;
    }
    Modular& operator-=(const Modular& other) {
        if ((value -= other.value) < 0)
            value += mod();
        return *this;
    }
    template <typename U> Modular& operator+=(const U& other) {
        return *this += Modular(other);
    }
    template <typename U> Modular& operator-=(const U& other) {
        return *this -= Modular(other);
    }
    Modular& operator++() { return *this += 1; }
    Modular& operator--() { return *this -= 1; }
    Modular operator++(int) {
        Modular result(*this);
        *this += 1;
        return result;
    }
    Modular operator--(int) {
        Modular result(*this);
        *this -= 1;
        return result;
    }
    Modular operator-() const { return Modular(-value); }
 
    template <typename U = T>
    typename enable_if<is_same<typename Modular<U>::Type, int>::value,
                       Modular>::type&
    operator*=(const Modular& rhs) {
#ifdef _WIN32
        uint64_t x =
            static_cast<int64_t>(value) * static_cast<int64_t>(rhs.value);
        uint32_t xh = static_cast<uint32_t>(x >> 32),
                 xl = static_cast<uint32_t>(x), d, m;
        asm("divl %4; \n\t" : "=a"(d), "=d"(m) : "d"(xh), "a"(xl), "r"(mod()));
        value = m;
#else
        value = normalize(static_cast<int64_t>(value) *
                          static_cast<int64_t>(rhs.value));
#endif
        return *this;
    }
    template <typename U = T>
    typename enable_if<is_same<typename Modular<U>::Type, int64_t>::value,
                       Modular>::type&
    operator*=(const Modular& rhs) {
        int64_t q = static_cast<int64_t>(static_cast<long double>(value) *
                                         rhs.value / mod());
        value = normalize(value * rhs.value - q * mod());
        return *this;
    }
    template <typename U = T>
    typename enable_if<!is_integral<typename Modular<U>::Type>::value,
                       Modular>::type&
    operator*=(const Modular& rhs) {
        value = normalize(value * rhs.value);
        return *this;
    }
 
    Modular& operator/=(const Modular& other) {
        return *this *= Modular(inverse(other.value, mod()));
    }
 
    template <typename U>
    friend bool operator==(const Modular<U>& lhs, const Modular<U>& rhs);
 
    template <typename U>
    friend bool operator<(const Modular<U>& lhs, const Modular<U>& rhs);
 
    template <typename U>
    friend std::istream& operator>>(std::istream& stream, Modular<U>& number);
 
  private:
    Type value;
};
 
template <typename T>
bool operator==(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return lhs.value == rhs.value;
}
template <typename T, typename U>
bool operator==(const Modular<T>& lhs, U rhs) {
    return lhs == Modular<T>(rhs);
}
template <typename T, typename U>
bool operator==(U lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) == rhs;
}
 
template <typename T>
bool operator!=(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return !(lhs == rhs);
}
template <typename T, typename U>
bool operator!=(const Modular<T>& lhs, U rhs) {
    return !(lhs == rhs);
}
template <typename T, typename U>
bool operator!=(U lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return !(lhs == rhs);
}
 
template <typename T>
bool operator<(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return lhs.value < rhs.value;
}
 
template <typename T>
Modular<T> operator+(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) += rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator+(const Modular<T>& lhs, U rhs) {
    return Modular<T>(lhs) += rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator+(U lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) += rhs;
}
 
template <typename T>
Modular<T> operator-(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) -= rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator-(const Modular<T>& lhs, U rhs) {
    return Modular<T>(lhs) -= rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator-(U lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) -= rhs;
}
 
template <typename T>
Modular<T> operator*(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) *= rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator*(const Modular<T>& lhs, U rhs) {
    return Modular<T>(lhs) *= rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator*(U lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) *= rhs;
}
 
template <typename T>
Modular<T> operator/(const Modular<T>& lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) /= rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator/(const Modular<T>& lhs, U rhs) {
    return Modular<T>(lhs) /= rhs;
}
template <typename T, typename U>
Modular<T> operator/(U lhs, const Modular<T>& rhs) {
    return Modular<T>(lhs) /= rhs;
}
 
template <typename T, typename U>
Modular<T> power(const Modular<T>& a, const U& b) {
    assert(b >= 0);
    Modular<T> x = a, res = 1;
    U p = b;
    while (p > 0) {
        if (p & 1)
            res *= x;
        x *= x;
        p >>= 1;
    }
    return res;
}
 
template <typename T> string to_string(const Modular<T>& number) {
    return to_string(number());
}
 
template <typename T>
std::ostream& operator<<(std::ostream& stream, const Modular<T>& number) {
    return stream << number();
}
 
template <typename T>
std::istream& operator>>(std::istream& stream, Modular<T>& number) {
    typename common_type<typename Modular<T>::Type, int64_t>::type x;
    stream >> x;
    number.value = Modular<T>::normalize(x);
    return stream;
}
 
constexpr int md = 998244353;
using Mint = Modular<std::integral_constant<decay<decltype(md)>::type, md>>;
 
template <typename T> class NTT {
  public:
    using Type = typename decay<decltype(T::value)>::type;
 
    static Type md;
    static Modular<T> root;
    static int base;
    static int max_base;
    static vector<Modular<T>> roots;
    static vector<int> rev;
 
    static void clear() {
        root = 0;
        base = 0;
        max_base = 0;
        roots.clear();
        rev.clear();
    }
 
    static void init() {
        md = T::value;
        assert(md >= 3 && md % 2 == 1);
        auto tmp = md - 1;
        max_base = 0;
        while (tmp % 2 == 0) {
            tmp /= 2;
            max_base++;
        }
        root = 2;
        while (power(root, (md - 1) >> 1) == 1) {
            root++;
        }
        assert(power(root, md - 1) == 1);
        root = power(root, (md - 1) >> max_base);
        base = 1;
        rev = {0, 1};
        roots = {0, 1};
    }
 
    static void ensure_base(int nbase) {
        if (md != T::value) {
            clear();
        }
        if (roots.empty()) {
            init();
        }
        if (nbase <= base) {
            return;
        }
        assert(nbase <= max_base);
        rev.resize(1 << nbase);
        for (int i = 0; i < (1 << nbase); i++) {
            rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) + ((i & 1) << (nbase - 1));
        }
        roots.resize(1 << nbase);
        while (base < nbase) {
            Modular<T> z = power(root, 1 << (max_base - 1 - base));
            for (int i = 1 << (base - 1); i < (1 << base); i++) {
                roots[i << 1] = roots[i];
                roots[(i << 1) + 1] = roots[i] * z;
            }
            base++;
        }
    }
 
    static void fft(vector<Modular<T>>& a) {
        int n = (int)a.size();
        assert((n & (n - 1)) == 0);
        int zeros = __builtin_ctz(n);
        ensure_base(zeros);
        int shift = base - zeros;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i < (rev[i] >> shift)) {
                swap(a[i], a[rev[i] >> shift]);
            }
        }
        for (int k = 1; k < n; k <<= 1) {
            for (int i = 0; i < n; i += 2 * k) {
                for (int j = 0; j < k; j++) {
                    Modular<T> x = a[i + j];
                    Modular<T> y = a[i + j + k] * roots[j + k];
                    a[i + j] = x + y;
                    a[i + j + k] = x - y;
                }
            }
        }
    }
 
    static vector<Modular<T>> multiply(vector<Modular<T>> a,
                                       vector<Modular<T>> b) {
        if (a.empty() || b.empty()) {
            return {};
        }
        int eq = (a == b);
        int need = (int)a.size() + (int)b.size() - 1;
        int nbase = 0;
        while ((1 << nbase) < need)
            nbase++;
        ensure_base(nbase);
        int sz = 1 << nbase;
        a.resize(sz);
        b.resize(sz);
        fft(a);
        if (eq)
            b = a;
        else
            fft(b);
        Modular<T> inv_sz = 1 / static_cast<Modular<T>>(sz);
        for (int i = 0; i < sz; i++) {
            a[i] *= b[i] * inv_sz;
        }
        reverse(a.begin() + 1, a.end());
        fft(a);
        a.resize(need);
        return a;
    }
};
 
template <typename T> typename NTT<T>::Type NTT<T>::md;
template <typename T> Modular<T> NTT<T>::root;
template <typename T> int NTT<T>::base;
template <typename T> int NTT<T>::max_base;
template <typename T> vector<Modular<T>> NTT<T>::roots;
template <typename T> vector<int> NTT<T>::rev;
 
template <typename T> vector<Modular<T>> inverse(const vector<Modular<T>>& a) {
    assert(!a.empty());
    int n = (int)a.size();
    vector<Modular<T>> b = {1 / a[0]};
    while ((int)b.size() < n) {
        vector<Modular<T>> x(a.begin(),
                             a.begin() + min(a.size(), b.size() << 1));
        x.resize(b.size() << 1);
        b.resize(b.size() << 1);
        vector<Modular<T>> c = b;
        NTT<T>::fft(c);
        NTT<T>::fft(x);
        Modular<T> inv = 1 / static_cast<Modular<T>>((int)x.size());
        for (int i = 0; i < (int)x.size(); i++) {
            x[i] *= c[i] * inv;
        }
        reverse(x.begin() + 1, x.end());
        NTT<T>::fft(x);
        rotate(x.begin(), x.begin() + (x.size() >> 1), x.end());
        fill(x.begin() + (x.size() >> 1), x.end(), 0);
        NTT<T>::fft(x);
        for (int i = 0; i < (int)x.size(); i++) {
            x[i] *= c[i] * inv;
        }
        reverse(x.begin() + 1, x.end());
        NTT<T>::fft(x);
        for (int i = 0; i < ((int)x.size() >> 1); i++) {
            b[i + ((int)x.size() >> 1)] = -x[i];
        }
    }
    b.resize(n);
    return b;
}
 
template <typename T> vector<Modular<T>> inverse_old(vector<Modular<T>> a) {
    assert(!a.empty());
    int n = (int)a.size();
    if (n == 1) {
        return {1 / a[0]};
    }
    int m = (n + 1) >> 1;
    vector<Modular<T>> b =
        inverse(vector<Modular<T>>(a.begin(), a.begin() + m));
    int need = n << 1;
    int nbase = 0;
    while ((1 << nbase) < need) {
        ++nbase;
    }
    NTT<T>::ensure_base(nbase);
    int size = 1 << nbase;
    a.resize(size);
    b.resize(size);
    NTT<T>::fft(a);
    NTT<T>::fft(b);
    Modular<T> inv = 1 / static_cast<Modular<T>>(size);
    for (int i = 0; i < size; ++i) {
        a[i] = (2 - a[i] * b[i]) * b[i] * inv;
    }
    reverse(a.begin() + 1, a.end());
    NTT<T>::fft(a);
    a.resize(n);
    return a;
}
 
template <typename T>
vector<Modular<T>> operator*(const vector<Modular<T>>& a,
                             const vector<Modular<T>>& b) {
    if (a.empty() || b.empty()) {
        return {};
    }
    if (min(a.size(), b.size()) < 150) {
        vector<Modular<T>> c(a.size() + b.size() - 1, 0);
        for (int i = 0; i < (int)a.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < (int)b.size(); j++) {
                c[i + j] += a[i] * b[j];
            }
        }
        return c;
    }
    return NTT<T>::multiply(a, b);
}
 
template <typename T>
vector<Modular<T>>& operator*=(vector<Modular<T>>& a,
                               const vector<Modular<T>>& b) {
    return a = a * b;
}
 
int main(void) {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (auto& x : a)
        cin >> x;
    int tot = accumulate(a.begin(), a.end(), 0);
    auto solve = [&](auto solve, int l, int r) -> vector<Mint> {
        if (l + 1 == r)
            return {1, a[l]};
        int m = (l + r) >> 1;
        return solve(solve, l, m) * solve(solve, m, r);
    };
    vector<Mint> poly = solve(solve, 0, n);
    Mint deno = 1, ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        ans += poly[i] / deno;
        deno *= tot - i;
        deno /= i + 1;
    }
    cout << ans << '\n';
 
    return 0;
}

本文作者：~Lanly~

本文链接：https://www.cnblogs.com/Lanly/p/18173063

posted @ 2024-05-05 00:19 ~Lanly~ 阅读(1125) 评论(2) 编辑收藏举报

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昵称： ~Lanly~
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指尖跃动的换行符，是我此生不变的信仰。|

2025年3月

日

一

二

三

四

五

六

~Lanly~

指尖跃动的换行符，是我此生不变的信仰。

AtCoder Beginner Contest 352

A - AtCoder Line (abc352 A)

题目大意

解题思路

B - Typing (abc352 B)

题目大意

解题思路

C - Standing On The Shoulders (abc352 C)

题目大意

解题思路

D - Permutation Subsequence (abc352 D)

题目大意

解题思路

E - Clique Connect (abc352 E)

题目大意

解题思路

F - Estimate Order (abc352 F)

题目大意

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G - Socks 3 (abc352 G)

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	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	using LL = long long;

	int main(void) {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int n, x, y, z;
	cin >> n >> x >> y >> z;
	if (x > y)
	swap(x, y);
	if (x <= z && z <= y)
	cout << "Yes" << '\n';
	else
	cout << "No" << '\n';

	return 0;
	}