AtCoder Beginner Contest 332
坐地铁时口糊了6题，回来写时结果爆
long long，0没有逆元，卡了好久
A - Online Shopping (abc332 A)
题目大意
线上购物，买了\(n\)种物品，分别给出它们的单价和数量。
若总价少于\(s\)元，则需要支付 \(k\)元邮费，否则包邮。
问总价多少。
解题思路
求个和判断下是否加邮费即可。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, s, k;
cin >> n >> s >> k;
int tot = 0;
while (n--) {
int p, q;
cin >> p >> q;
tot += p * q;
}
if (tot < s)
tot += k;
cout << tot << '\n';
return 0;
}
B - Glass and Mug (abc332 B)
题目大意
一个容量为\(G\)的玻璃杯和一个容量为 \(K\)的马克杯。依次进行以下操作 \(k\)次：
- 若玻璃杯水满了，则把水倒掉
- 否则，若马克杯空的，则马克杯装满水
- 否则，将马克杯的水导入玻璃杯，直到马克杯没水了或玻璃杯满了
问最后玻璃杯和马克杯的水的容量。
解题思路
\(k\)只有 \(100\)，按照上述操作模拟即可。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int k, g, m;
cin >> k >> g >> m;
int l = 0, r = 0;
while (k--) {
if (l == g)
l = 0;
else if (r == 0)
r = m;
else {
int d = min(r, g - l);
l += d;
r -= d;
}
}
cout << l << ' ' << r << '\n';
return 0;
}
C - T-shirts (abc332 C)
题目大意
有a衬衫和b衬衫。初始有\(m\)件a衬衫。
给定 \(n\)天，每天要么洗衣服，要么吃饭，要么打比赛。
- 吃饭的话，可以选择穿一件a衬衫或一件b衬衫。
- 打比赛的话，只能穿一件b衬衫。
- 洗衣服的话，之前穿过的衬衫在之后都可以再穿。
问最少需要多少件\(b\)衬衫才能满足要求。
解题思路
对于吃饭，我们肯定是能穿a衬衫就穿a衬衫。
因此记录已经穿了的a衬衫和b衬衫件数，每到洗衣服天就重置使用过的 a衬衫和b衬衫。
这期间b衬衫的最大值即为答案。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, m;
string s;
cin >> n >> m >> s;
int cnt = 0, ans = 0;
int plain = m;
for (auto& i : s) {
if (i == '0') {
plain = m;
cnt = 0;
} else if (i == '1') {
if (plain > 0)
--plain;
else {
++cnt;
ans = max(ans, cnt);
}
} else if (i == '2') {
++cnt;
ans = max(ans, cnt);
}
}
cout << ans << '\n';
return 0;
}
D - Swapping Puzzle (abc332 D)
题目大意
给定两个矩阵\(a,b\)。
对矩阵\(a\)操作，问最小的操作次数变成 \(b\)。
每次操作，交换相邻两行或者交换相邻两列。
解题思路
注意到矩阵大小只有\(5 \times 5\)，因此最终的情况数只有 \(5! \times 5! = 1e4\)，因此直接\(BFS\)搜索即可。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int h, w;
cin >> h >> w;
vector<vector<int>> a(h, vector<int>(w, 0)), b(h, vector<int>(w, 0));
for (auto& i : a)
for (auto& j : i)
cin >> j;
for (auto& i : b)
for (auto& j : i)
cin >> j;
queue<pair<int, vector<vector<int>>>> team;
set<vector<vector<int>>> dis;
team.push({0, a});
dis.insert(a);
int ans = -1;
while (!team.empty()) {
auto [c, u] = team.front();
if (u == b) {
ans = c;
break;
}
team.pop();
for (int i = 0; i < h - 1; ++i) {
auto v = u;
v[i].swap(v[i + 1]);
if (dis.find(v) == dis.end()) {
team.push({c + 1, v});
dis.insert(v);
}
}
for (int i = 0; i < w - 1; ++i) {
auto v = u;
for (int j = 0; j < h; ++j)
swap(v[j][i], v[j][i + 1]);
if (dis.find(v) == dis.end()) {
team.push({c + 1, v});
dis.insert(v);
}
}
}
cout << ans << '\n';
return 0;
}
E - Lucky bag (abc332 E)
题目大意
给定\(n\)个商品的价值\(w_i\)，分成 \(d\)个袋子里，使得 \(\frac{\sum_{i=1}^{d}(x_i-\bar{x})^2}{d}\)最小，其中 \(x_i\)表示第 \(i\)个袋子的价值和。允许有空袋子。
解题思路
注意到\(\bar{x}\)和\(d\)都是固定的，实际上问题就是确定每个袋子的 \(x_i\)。
注意到\(n\)只有 \(15\)，可以设最朴素的 \(dp[i][j]\)表示将 \(i\)——二进制表示的商品分成 \(j\)个袋子的\(\sum_{i=1}^{d}(x_i-\bar{x})^2\)的最小值。
转移则枚举\(i\)的子集作为一个新袋子，计算该袋子的代价来转移。时间复杂度是 \(O(n3^n)\)，这个时间比较紧 ，预处理每个商品表示\(i\)的价值和，时间复杂度是\(O(n2^n + 3^n)\)
枚举子集的方法和复杂度可参见oi-wiki
这做法貌似就是2023CCPC秦皇岛的签到题J题
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, d;
cin >> n >> d;
vector<int> w(n);
for (auto& i : w)
cin >> i;
int tot = accumulate(w.begin(), w.end(), 0);
double ave = 1. * tot / d;
int up = (1 << n);
double inf = numeric_limits<double>::max();
vector<double> cost(up, 0);
for (int i = 0; i < up; ++i) {
for (int l = 0; l < n; ++l) {
cost[i] += (w[l] * ((i >> l) & 1));
}
cost[i] = (cost[i] - ave) * (cost[i] - ave);
}
vector<double> dp(up, inf);
dp[0] = 0;
for (int j = 1; j <= d; ++j) {
vector<double> dp2(up, inf);
for (int i = 0; i < up; ++i) {
for (int k = i; 1; k = ((k - 1) & i)) {
if (dp[i ^ k] != inf) {
dp2[i] = min(dp2[i], dp[i ^ k] + cost[k]);
}
if (k == 0)
break;
}
}
dp.swap(dp2);
}
cout << fixed << setprecision(10) << dp.back() / d << '\n';
return 0;
}
注意到\(\bar{x}\)可以通分，使得 \(dp\)的计算不涉及浮点数，但注意此时 \(dp\)值会爆 long long值（可达\(1e20\)）。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, d;
cin >> n >> d;
vector<int> w(n);
for (auto& i : w)
cin >> i;
int tot = accumulate(w.begin(), w.end(), 0);
int up = (1 << n);
__int128 inf = numeric_limits<__int128>::max();
vector<int> sum(up, 0);
for (int i = 1; i < up; ++i) {
for (int l = 0; l < n; ++l) {
sum[i] += (w[l] * ((i >> l) & 1));
}
}
vector<__int128> dp(up, inf);
dp[0] = 0;
for (int j = 1; j <= d; ++j) {
vector<__int128> dp2(up, inf);
for (int i = 0; i < up; ++i) {
for (int k = i; 1; k = (k - 1) & i) {
if (dp[i ^ k] != inf) {
__int128 cost = sum[k];
__int128 w = (1ll * d * cost - 1ll * tot) *
(1ll * d * cost - 1ll * tot);
dp2[i] = min(dp2[i], dp[i ^ k] + w);
}
if (k == 0)
break;
}
}
dp.swap(dp2);
}
cout << fixed << setprecision(10) << dp.back() * 1. / (d * d * d) << '\n';
return 0;
}
F - Random Update Query (abc332 F)
题目大意
给定一个数组\(a\)，以及 \(m\)次操作。
每次操作，给定 \(l,r,x\)，随机对 \(a[l..r]\)中的一个元素改成 \(x\)。
问每个 \(x\)的期望值。
解题思路
考虑一个操作对其中一个数的影响，如果原来数的期望值是\(a\)，则进行这次操作后，设 \(len = r - l + 1, p = \frac{1}{len}, q = 1 - p\)，则 \(a = a * q + x * p\)。
这是一个区间乘+区间加的操作，用线段树维护即可。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
const int N = 2e5 + 8;
const int mo = 998244353;
class segment {
#define lson root << 1
#define rson root << 1 | 1
public:
LL k[N << 2];
LL b[N << 2];
LL lazyk[N << 2];
LL lazyb[N << 2];
void build(int root, int l, int r) {
if (l == r) {
k[root] = 1;
b[root] = 0;
lazyk[root] = 1;
lazyb[root] = 0;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(lson, l, mid);
build(rson, mid + 1, r);
k[root] = 1;
b[root] = 0;
lazyk[root] = 1;
lazyb[root] = 0;
}
void pushdown(int root) {
if (lazyk[root] != 1 || lazyb[root] != 0) {
k[lson] = k[lson] * lazyk[root] % mo;
lazyk[lson] = lazyk[lson] * lazyk[root] % mo;
b[lson] = (b[lson] * lazyk[root] % mo + lazyb[root]) % mo;
lazyb[lson] = (lazyb[lson] * lazyk[root] % mo + lazyb[root]) % mo;
k[rson] = k[rson] * lazyk[root] % mo;
lazyk[rson] = lazyk[rson] * lazyk[root] % mo;
b[rson] = (b[rson] * lazyk[root] % mo + lazyb[root]) % mo;
lazyb[rson] = (lazyb[rson] * lazyk[root] % mo + lazyb[root]) % mo;
lazyk[root] = 1;
lazyb[root] = 0;
}
}
void update(int root, int l, int r, int L, int R, int vk, int vb) {
if (L <= l && r <= R) {
k[root] = k[root] * vk % mo;
b[root] = (b[root] * vk % mo + vb) % mo;
lazyk[root] = lazyk[root] * vk % mo;
lazyb[root] = (lazyb[root] * vk % mo + vb) % mo;
return;
}
pushdown(root);
int mid = (l + r) >> 1;
if (L <= mid)
update(lson, l, mid, L, R, vk, vb);
if (R > mid)
update(rson, mid + 1, r, L, R, vk, vb);
}
array<LL, 2> get(int root, int l, int r, int pos) {
if (l == r) {
return {k[root], b[root]};
}
pushdown(root);
int mid = (l + r) >> 1;
if (pos <= mid)
return get(lson, l, mid, pos);
else
return get(rson, mid + 1, r, pos);
}
} seg;
long long qpower(long long a, long long b) {
long long qwq = 1;
while (b) {
if (b & 1)
qwq = qwq * a % mo;
a = a * a % mo;
b >>= 1;
}
return qwq;
}
long long inv(long long x) { return qpower(x, mo - 2); }
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<LL> a(n);
for (auto& i : a)
cin >> i;
seg.build(1, 1, n);
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int l, r, x;
cin >> l >> r >> x;
int len = (r - l + 1);
int p = inv(len);
int q = 1 - p;
if (q < 0)
q += mo;
seg.update(1, 1, n, l, r, q, 1ll * p * x % mo);
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {
auto [p, q] = seg.get(1, 1, n, i + 1);
int ans = a[i] * p % mo + q;
if (ans >= mo)
ans -= mo;
cout << ans << " \n"[i == n - 1];
}
return 0;
}
也可以依次考虑每个位置，所有操作对这个位置的影响。从左到右考虑每个位置时，会有一些操作有影响，有一些操作没有影响。
对于当前位置\(i\)，第 \(j\)个操作对其的贡献为， \(x_j \times p_j\) \times q_{tot}\(,\)p,q$就是上述提到的成功概率（修改该数）和失败概率（修改了其他数）。而这个 \(q\)就是该操作之后的所有操作的失败概率的乘积。
换句话说，当第\(j\)个操作有影响时，它对前面的操作的贡献都会乘以 \(q_j\)，当它没影响时，则乘以\(q_j\)的逆元。 这需要一个区间乘的操作，但有个问题， 当\(q_j\)为 \(0\)（即 \(len=1\)）时，其是没有逆元的。 因此可能无法消除影响。
为了避免逆元，我们将这类影响体现在合并上：对于每个操作，维护两个值\(b = xp, k = q\)，即成功的期望值和失败概率。两个操作合并时，成功期望值的和与失败概率则变为 \(b = b_l \times k_r + b_r, k = k_l \times k_r\)。最后答案就是\(a_i \times k_1 + b_1\)。消除该操作影响，则令 \(b=0, k=1\)即可。这就需要单点修改和区间查询。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
const int N = 2e5 + 8;
const int mo = 998244353;
class segment {
#define lson root << 1
#define rson root << 1 | 1
public:
LL k[N << 2];
LL b[N << 2];
void build(int root, int l, int r) {
if (l == r) {
k[root] = 1;
b[root] = 0;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(lson, l, mid);
build(rson, mid + 1, r);
k[root] = 1;
b[root] = 0;
}
void modify(int root, int l, int r, int pos, int vk, int vb) {
if (l == r) {
k[root] = vk;
b[root] = vb;
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
if (pos <= mid)
modify(lson, l, mid, pos, vk, vb);
else
modify(rson, mid + 1, r, pos, vk, vb);
k[root] = k[lson] * k[rson] % mo;
b[root] = b[lson] * k[rson] % mo + b[rson];
if (b[root] >= mo)
b[root] -= mo;
}
} seg;
long long qpower(long long a, long long b) {
long long qwq = 1;
while (b) {
if (b & 1)
qwq = qwq * a % mo;
a = a * a % mo;
b >>= 1;
}
return qwq;
}
long long inv(long long x) { return qpower(x, mo - 2); }
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<LL> a(n);
for (auto& i : a)
cin >> i;
vector<array<int, 3>> op(m);
for (auto& i : op) {
cin >> i[0] >> i[1] >> i[2];
--i[0];
--i[1];
}
vector<int> add(m), mine(m);
iota(add.begin(), add.end(), 0);
iota(mine.begin(), mine.end(), 0);
ranges::sort(add, [&](int a, int b) { return op[a][0] < op[b][0]; });
ranges::sort(mine, [&](int a, int b) { return op[a][1] < op[b][1]; });
seg.build(1, 1, m);
auto l = add.begin(), r = mine.begin();
for (int i = 0; i < n; ++i) {
while (l != add.end() && op[*l][0] <= i) {
int len = op[*l][1] - op[*l][0] + 1;
LL p = inv(len);
LL q = (1 - p);
if (q < 0)
q += mo;
seg.modify(1, 1, m, *l + 1, q, p * op[*l][2] % mo);
l = next(l);
}
while (r != mine.end() && op[*r][1] < i) {
seg.modify(1, 1, m, *r + 1, 1, 0);
r = next(r);
}
LL ans = a[i] * seg.k[1] % mo + seg.b[1];
if (ans >= mo)
ans -= mo;
cout << ans << " \n"[i == n - 1];
}
return 0;
}
G - Not Too Many Balls (abc332 G)
题目大意
给定\(n\)个颜色球的数量\(a_i\)和 \(m\)个盒子的容量\(b_i\)，以及一个附加条件：第 \(j\)个盒子最多能放的第 \(i\)种颜色的球的数量为 \(i \times j\)。
问最多能放多少个球。
解题思路
一类感觉一个决策会牵着到很多条件的决策问题，容易想到使用网络流解决。
- 源点\(S \to\)颜色\(i\)，容量为 \(a_i\)
- 颜色\(i \to\)盒子\(j\)，容量为 \(i \times j\)
- 盒子\(i \to\)汇点\(t\)，容量为 \(b_i\)
跑个最大流即为答案。
但边数有\(5e2 \times 5e5 = 2e8\)，寄。
考虑到最大流等于最小割，我们需要割去最小代价的边集，使得\(S \to T\)无法到达。
注意到上述边分了三类，且第一类的边数量很少，只有 \(500\)。
假定我们选择割去若干条第一类边，即对应的颜色被割去了，而与源点相连的点（颜色）集合为 \(X\)。 考虑盒子点\(j\)，此时仍有\(S \to X \to j \to T\)这样的路径，对与该盒子点来说，就两种决策：
- 决策1:把 \(j \to T\)这条边割掉，代价是 \(b_j\)
- 决策2:把 \(X \to j\)这些边割掉，代价是 \(j \times \sum_{i \in X} i\)
很显然我们贪心地选择代价小的割掉，且各个盒子点的决策都是独立的。因此问题就剩下如何决定割去的颜色，这会影响到\(\sum_{i \in X}\)的值。
注意到 \(\sum_{i \in X}\)的大小只有 \(O(n^2)\)，可以枚举这个和\(x\)，当这个和固定后，问题就是我选择编号和为 \(x\) 的最小\(a_i\) 和是多少，这是一个简单的\(0/1\)背包问题 ，设\(dp[i]\)表示割去颜色标号和为 \(i\) 的最小\(a_i\)和，转移则考虑每个颜色是否割去两种情况。
得到 \(dp[i]\)后，如果枚举 标号和再依次判断每个盒子点的决策，复杂度是 \(O(n^2m)\)，这还是过不了。
注意到 判断决策的条件是\(l \times j - b_j < 0\)，即\(l < \frac{b_j}{j}\)。当从小到大枚举割去的颜色标号和\(i\)时， 未被割去的颜色标号和\(l = \sum_{k=1}^{n} k - i\)是递减的。因此会有越来越多的盒子点决策从决策2变成决策1。
因此事先对盒子点根据\(\frac{b_i}{i}\)降序排列，然后类似双指针的方式维护决策2和决策1的边界。最终的时间复杂度是 \(O(n^3 + n + m)\)
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<LL> a(n), b(m);
for (auto& i : a)
cin >> i;
for (auto& i : b)
cin >> i;
int up = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
up += i;
constexpr LL inf = 1e18;
LL totb = accumulate(b.begin(), b.end(), 0ll);
vector<LL> dp(up + 1, inf);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
LL cost = a[i - 1];
for (int j = up; j >= i; --j) {
dp[j] = min(dp[j], dp[j - i] + cost);
}
}
LL ans = inf;
vector<int> id(m);
iota(id.begin(), id.end(), 0);
ranges::sort(id,
[&](int x, int y) { return b[x] * (y + 1) > b[y] * (x + 1); });
auto pos = id.begin();
LL cost2 = 0;
LL cost3 = totb;
for (int i = 0; i <= up; ++i) {
LL cost1 = dp[i];
LL l = up - i;
while (pos != id.end() && l * (*pos + 1) <= b[*pos]) {
cost2 += *pos + 1;
cost3 -= b[*pos];
pos = next(pos);
}
ans = min(ans, cost1 + l * cost2 + cost3);
}
cout << ans << '\n';
return 0;
}
