AtCoder Beginner Contest 323
有的人边上课边打abc
A - Weak Beats (abc323 A)
题目大意
给定一个\(01\)字符串，问偶数位（从\(1\)开始） 是否全为\(0\)。
解题思路
遍历判断即可。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
string s;
cin >> s;
bool ok = true;
for (int i = 1; i < s.size(); i += 2) {
ok &= (s[i] == '0');
}
if (ok)
cout << "Yes" << '\n';
else
cout << "No" << '\n';
return 0;
}
B - Round-Robin Tournament (abc323 B)
题目大意
给定\(n\)个人与其他所有人的胜负情况。问最后谁赢。
一个人获胜次数最多则赢，若次数相同，则编号小的赢。
解题思路
统计每个人的获胜次数，排个序即可。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
vector<int> a(n);
for (auto& i : a) {
string s;
cin >> s;
i = count(s.begin(), s.end(), 'o');
}
vector<int> id(n);
iota(id.begin(), id.end(), 0);
sort(id.begin(), id.end(), [&](int x, int y) {
if (a[x] != a[y])
return a[x] > a[y];
else
return x < y;
});
for (auto& i : id)
cout << i + 1 << ' ';
return 0;
}
C - World Tour Finals (abc323 C)
题目大意
给定每道题的分数，以及每个人的通过情况，每个人的得分为解决题目的分的和，其中第\(i\)个人还有\(i\)的额外加分。
对于每个人，问最少还得解决多少道题，才能成为第一。
解题思路
因为范围只有\(100\)，可以采取最朴素的做法，先统计每个人的分数，得到当前最高的分数。
然后对于每个人，从未通过题目的分数，排个序，大到小依次解决获得分数，看何时超过最高分。
由于每个人有不同的额外得分，所以不会有同分。
时间复杂度为 \(O(n^2\log n)\)
也可以每次遍历未通过的题目，找分数最大的，这样复杂度为\(O(n^3)\)同样可以通过。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, m;
cin >> n >> m;
vector<int> a(m);
for (auto& i : a)
cin >> i;
vector<int> score(n);
vector<string> s(n);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cin >> s[i];
score[i] = i + 1;
for (int j = 0; j < m; ++j)
score[i] += a[j] * (s[i][j] == 'o');
}
int maxx = *max_element(score.begin(), score.end());
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (score[i] == maxx) {
cout << 0 << '\n';
continue;
}
int dis = maxx - score[i];
vector<int> unsolve;
for (int j = 0; j < m; ++j)
if (s[i][j] == 'x')
unsolve.push_back(a[j]);
sort(unsolve.begin(), unsolve.end(), greater<int>());
int ans = 0;
for (; dis > 0 && ans < unsolve.size(); ++ans) {
dis -= unsolve[ans];
}
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}
D - Merge Slimes (abc323 D)
题目大意
有\(n\)类数字，第 \(i\)类数字为 \(s_i\)，有 \(c_i\)个。
同类数字可以两两合并，得到一个\(s_i + s_i\)数字。
问最后剩下的数字数量。
解题思路
因为数字很大，可以考虑用map存对应数的数量。
但是不能遍历\(map\)的每个元素，然后合并，累计到更大的数里。因为如果更大的数不存在，会插入到 \(map\)中，从而可能导致原因迭代器失效。
但考虑到一类元素不断合并，最终停止时，其个数一定是\(1\)，就不用管它了，我们只考虑一开始的那些类别。 因此事先用set储存原来的数的类别。
然后对于set的每一个类别，从小到大考虑不断合并，直到数量变为\(1\)。由于每次合并数量都除以 \(2\)。因此每一类最多 \(\log\)次就结束了。
最后看 map里剩余数的个数。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
unordered_map<LL, int> cnt;
set<int> a;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int s, c;
cin >> s >> c;
cnt[s] = c;
a.insert(s);
}
int ans = 0;
for (auto& i : a) {
int sum = 0;
for (LL j = i; true; j = j + j) {
sum = (sum + cnt[j]);
if (sum < 2) {
cnt[j] = sum;
break;
}
cnt[j] = sum % 2;
sum /= 2;
}
}
for (auto& i : cnt) {
ans += i.second;
}
cout << ans << '\n';
return 0;
}
E - Playlist (abc323 E)
题目大意
给定\(n\)首歌的播放时间。
从第\(0\)秒，随机选一首歌播放。当一首歌播放完后，立刻随机选下一首歌播放。
问第 \(X + 0.5\)秒 时播放第一首歌的概率。
解题思路
假设第一首歌的播放时长为\(t\)。
那么要在 \(X + 0.5\)秒播放第一首歌，则要求第一首歌在第 \(X, X - 1, X - 2, ..., X - t + 1\)秒中的一秒开始播放。
而如果我知道能够在第 \(X,X-1,X-2,...,X-t + 1\)秒开始播放的概率（或者说这些时刻恰好播放完的概率），那么这些概率的和，再乘以\(\frac{1}{n}\)（即选到第一首歌播放的概率），就是答案。
设 \(dp[i]\)表示能够在第 \(i\)秒开始播放的概率，转移则枚举之前播放的是哪一首歌，比如第 \(j\)首，播放时长为\(t_j\)，则有 \(dp[i] += dp[i - t_j] \times \frac{1}{n}\)。
即 \(dp[i] = \sum_{t_j \leq i} dp[i - t_j] \times \frac{1}{n}\)
初始条件就是\(dp[0] = 1\)。即第 \(0\)秒肯定能够播放一首歌。
最后答案就是\(\sum_{i = x - t + 1}^{x} dp[i] \times \frac{1}{n}\)
时间复杂度为 \(O(n^2)\)
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
const int mo = 998244353;
int qpower(int a, int b) {
int ret = 1;
while (b) {
if (b & 1) {
ret = 1ll * ret * a % mo;
}
a = 1ll * a * a % mo;
b >>= 1;
}
return ret;
}
int inv(int x) { return qpower(x, mo - 2); }
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n, x;
cin >> n >> x;
vector<int> t(n);
for (auto& i : t) {
cin >> i;
}
vector<int> dp(x + 1);
int one = inv(n);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= x; ++i) {
int sum = 0;
for (auto& j : t) {
if (i < j)
continue;
sum += 1ll * dp[i - j] * one % mo;
if (sum >= mo)
sum -= mo;
}
dp[i] = sum;
}
int ans = 0;
for (int i = max(0, x - t[0] + 1); i <= x; ++i) {
ans = ans + dp[i];
if (ans >= mo)
ans -= mo;
}
ans = 1ll * ans * one % mo;
cout << ans << '\n';
return 0;
}
F - Push and Carry (abc323 F)
题目大意
二维平面，推箱子。给定你的位置，箱子位置，目标位置，一次上下左右移动一格，问把箱子推到目标位置的最小步数。
解题思路
虽然坐标范围挺大的，但实际上决策只有两种。枚举两种决策分别计算下步数取最小即可。
假设箱子在左下，目标位置在右上。很显然，推箱子只有两个决策：
- 先向上推，再向右推。
- 先向右推，再向上推。
而为了把箱子向上推，那么事先要走到箱子的下方。同理向右推，要事先走到箱子的左方。
最终步数的贡献来自于：
- 起始位置走到推箱子的位置的步数
- 推动箱子的步数（固定的，为箱子位置到目标位置的曼哈顿距离）
- 中间转动方向时额外需要的步数（固定的，为\(2\)），比如向上推时，你在箱子下方，然后要向右推，你需要走到箱子的左方，步数为\(2\)。
因此只有第一个位置需要枚举，事实上就两种情况：
- 先向上推，则求出初始位置到箱子下方的距离
- 先向右推，则求出初始位置到箱子左方的距离
而这个距离事实上也是个曼哈顿距离，因为除了箱子别无障碍，两种方式到达指定位置中，必有一种是畅通无阻的。
当注意一种情况，当初始位置、箱子位置、到达箱子的位置处于同一条线，且箱子位置在中间的时候，此时并不是畅通无阻的，必须要偏移一下。比如初始位置在左边，箱子在中间，为了把箱子往左推，你要跑到箱子右边，但不能穿过箱子，此时的步数在曼哈顿距离的基础上还要\(+2\)，即先向上走或向下走，再走回来。
代码里两种情况的分别考虑就相当于交换了下两个坐标，再考虑一次。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
int sign(LL x) {
if (x == 0)
return 0;
else if (x > 0)
return 1;
else
return -1;
}
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
array<array<LL, 2>, 3> pos;
for (auto& i : pos)
for (auto& j : i)
cin >> j;
auto& [player, box, target] = pos;
auto dis = [&](const array<LL, 2>& a, const array<LL, 2>& b) {
return abs(a[0] - b[0]) + abs(a[1] - b[1]);
};
LL bound = dis(box, target);
auto in_middle = [](LL l, LL m, LL r) {
LL L = min(l, r), R = max(l, r);
return m > L && m < R;
};
auto solve = [&]() {
LL ret = bound;
int d = sign(box[0] - target[0]);
if (d == 0)
return numeric_limits<LL>::max();
array<LL, 2> t1 = box;
t1[0] += d;
ret += dis(player, t1);
if ((player[0] == t1[0] && player[0] == box[0] &&
in_middle(player[1], box[1], t1[1])) ||
(player[1] == t1[1] && player[1] == box[1] &&
in_middle(player[0], box[0], t1[0])))
ret += 2;
if (box[1] != target[1])
ret += 2;
return ret;
};
LL ans = solve();
for (auto& i : pos)
swap(i[0], i[1]);
ans = min(ans, solve());
cout << ans << '\n';
return 0;
}
G - Inversion of Tree (abc323 G)
题目大意
给定一个关于\(n\)的全排列\(p\)。对于每个\(k = 0,1,2,...,n - 1\)，问有多少种形态的树，满足树上恰好有\(k\)条边\((u,v)(u < v)\)，有 \(p_u > p_v\)。
解题思路
是一道关于矩阵树黑科技的计数问题。
考虑朴素做法，假设给定的排列\(p\)有 \(k\)个逆序对 \((i, j), p_i > p_j\)。
先花 \(O(2^k)\)枚举要保留哪些边，那问题就剩下：
给定一张\(n\)个点的完全图，我要求删除一些边，得到一棵树，其中特定边要保留下来，特定边要去掉，其余边无所谓。问这种树的方案数。
这种图的生成树计数问题，矩阵树科技可以解决。
矩阵树定理指一个关于图的矩阵\(L\)（拉普拉斯矩阵），它的行列式的任意余子式（去掉任一行、任一列）都是一样的，且等于该图的生成树个数。这个图可以有向、无向，可以有重边，但不能有自环。
其中拉普拉斯矩阵\(L\)=度数矩阵\(D-\)邻接矩阵\(A\)。
度数矩阵\(D_{ii}=\)与点 \(i\)相连的边的个数，边有边权时则为边权和。其余为 \(0\)。
邻接矩阵\(A_{ij}=\)边\((i,j)\)的个数，边有边权时则为边权和。
其矩阵的任意余子式的结果即为\(\sum_{T} \prod_{e_i \in T} w_{e_i}\)，\(w_i\)为第\(i\)条边的边权，\(T\)是所有生成树的集合，每个元素是一些列边的集合。 当边权为\(1\)时就是生成树的数量。
现在我们要求保留了一些边的生成树的方案数，怎么做呢？
考虑生成函数的思想，我们把要保留的边的边权设为 \(x\)（就生成函数里无意义的自变量），其余边权为 \(1\)。于是其矩阵\(L\)的余子式是一个关于 \(x\)的多项式，最高次的系数就是保留了特定边的方案数。
因此我们把上述 \(k\)个逆序对对应的边的边权全设为 \(x\)，其余为 \(1\)，其矩阵 \(L\)的余子式就是一个关于\(x\)的多项式，其中\(x^i\)的系数就是恰好保留了 i$个特殊边（逆序对）的方案数。
问题剩下如何快速地求出这个余子式套个板子吧。
神奇的代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using LL = long long;
template <unsigned M_> struct ModInt {
static constexpr unsigned M = M_;
unsigned x;
constexpr ModInt() : x(0U) {}
constexpr ModInt(unsigned x_) : x(x_ % M) {}
constexpr ModInt(unsigned long long x_) : x(x_ % M) {}
constexpr ModInt(int x_)
: x(((x_ %= static_cast<int>(M)) < 0) ? (x_ + static_cast<int>(M))
: x_) {}
constexpr ModInt(long long x_)
: x(((x_ %= static_cast<long long>(M)) < 0)
? (x_ + static_cast<long long>(M))
: x_) {}
ModInt& operator+=(const ModInt& a) {
x = ((x += a.x) >= M) ? (x - M) : x;
return *this;
}
ModInt& operator-=(const ModInt& a) {
x = ((x -= a.x) >= M) ? (x + M) : x;
return *this;
}
ModInt& operator*=(const ModInt& a) {
x = (static_cast<unsigned long long>(x) * a.x) % M;
return *this;
}
ModInt& operator/=(const ModInt& a) { return (*this *= a.inv()); }
ModInt pow(long long e) const {
if (e < 0)
return inv().pow(-e);
ModInt a = *this, b = 1U;
for (; e; e >>= 1) {
if (e & 1)
b *= a;
a *= a;
}
return b;
}
ModInt inv() const {
unsigned a = M, b = x;
int y = 0, z = 1;
for (; b;) {
const unsigned q = a / b;
const unsigned c = a - q * b;
a = b;
b = c;
const int w = y - static_cast<int>(q) * z;
y = z;
z = w;
}
assert(a == 1U);
return ModInt(y);
}
ModInt operator+() const { return *this; }
ModInt operator-() const {
ModInt a;
a.x = x ? (M - x) : 0U;
return a;
}
ModInt operator+(const ModInt& a) const { return (ModInt(*this) += a); }
ModInt operator-(const ModInt& a) const { return (ModInt(*this) -= a); }
ModInt operator*(const ModInt& a) const { return (ModInt(*this) *= a); }
ModInt operator/(const ModInt& a) const { return (ModInt(*this) /= a); }
template <class T> friend ModInt operator+(T a, const ModInt& b) {
return (ModInt(a) += b);
}
template <class T> friend ModInt operator-(T a, const ModInt& b) {
return (ModInt(a) -= b);
}
template <class T> friend ModInt operator*(T a, const ModInt& b) {
return (ModInt(a) *= b);
}
template <class T> friend ModInt operator/(T a, const ModInt& b) {
return (ModInt(a) /= b);
}
explicit operator bool() const { return x; }
bool operator==(const ModInt& a) const { return (x == a.x); }
bool operator!=(const ModInt& a) const { return (x != a.x); }
friend std::ostream& operator<<(std::ostream& os, const ModInt& a) {
return os << a.x;
}
};
// det(a + x I)
// O(n^3)
// Call by value: Modifies a (Watch out when using C-style array!)
template <class T> vector<T> charPoly(vector<vector<T>> a) {
const int n = a.size();
// upper Hessenberg
for (int j = 0; j < n - 2; ++j) {
for (int i = j + 1; i < n; ++i) {
if (a[i][j]) {
swap(a[j + 1], a[i]);
for (int ii = 0; ii < n; ++ii)
swap(a[ii][j + 1], a[ii][i]);
break;
}
}
if (a[j + 1][j]) {
const T s = 1 / a[j + 1][j];
for (int i = j + 2; i < n; ++i) {
const T t = s * a[i][j];
for (int jj = j; jj < n; ++jj)
a[i][jj] -= t * a[j + 1][jj];
for (int ii = 0; ii < n; ++ii)
a[ii][j + 1] += t * a[ii][i];
}
}
}
// fss[i] := det(a[0..i][0..i] + x I_i)
vector<vector<T>> fss(n + 1);
fss[0] = {1};
for (int i = 0; i < n; ++i) {
fss[i + 1].assign(i + 2, 0);
for (int k = 0; k <= i; ++k)
fss[i + 1][k + 1] = fss[i][k];
for (int k = 0; k <= i; ++k)
fss[i + 1][k] += a[i][i] * fss[i][k];
T prod = 1;
for (int j = i - 1; j >= 0; --j) {
prod *= -a[j + 1][j];
const T t = prod * a[j][i];
for (int k = 0; k <= j; ++k)
fss[i + 1][k] += t * fss[j][k];
}
}
return fss[n];
}
template <class T> vector<T> detPoly(vector<vector<T>> a, vector<vector<T>> b) {
const int n = a.size();
T prod = 1;
int off = 0;
for (int h = 0; h < n; ++h) {
for (;;) {
if (b[h][h])
break;
for (int j = h + 1; j < n; ++j) {
if (b[h][j]) {
prod *= -1;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
swap(a[i][h], a[i][j]);
swap(b[i][h], b[i][j]);
}
break;
}
}
if (b[h][h])
break;
if (++off > n)
return vector<T>(n + 1, 0);
for (int j = 0; j < n; ++j) {
b[h][j] = a[h][j];
a[h][j] = 0;
}
for (int i = 0; i < h; ++i) {
const T t = b[h][i];
for (int j = 0; j < n; ++j) {
a[h][j] -= t * a[i][j];
b[h][j] -= t * b[i][j];
}
}
}
prod *= b[h][h];
const T s = 1 / b[h][h];
for (int j = 0; j < n; ++j) {
a[h][j] *= s;
b[h][j] *= s;
}
for (int i = 0; i < n; ++i)
if (h != i) {
const T t = b[i][h];
for (int j = 0; j < n; ++j) {
a[i][j] -= t * a[h][j];
b[i][j] -= t * b[h][j];
}
}
}
const vector<T> fs = charPoly(a);
vector<T> gs(n + 1, 0);
for (int i = 0; off + i <= n; ++i)
gs[i] = prod * fs[off + i];
return gs;
}
using MInt = ModInt<998244353>;
int main(void) {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
vector<int> p(n);
for (auto& i : p)
cin >> i;
vector<vector<MInt>> a(n, vector<MInt>(n, 0));
auto b = a;
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
if (p[i] > p[j]) {
b[i][i] += 1;
b[j][j] += 1;
b[i][j] -= 1;
b[j][i] -= 1;
} else {
a[i][i] += 1;
a[j][j] += 1;
a[i][j] -= 1;
a[j][i] -= 1;
}
}
a.resize(n - 1);
b.resize(n - 1);
for (auto& i : a)
i.resize(n - 1);
for (auto& i : b)
i.resize(n - 1);
auto ans = detPoly(a, b);
for (auto& i : ans)
cout << i << ' ';
return 0;
}
