CF 1557 C. Moamen and XOR

C. Moamen and XOR

题目大意

给定$n,k$，要求创建一个$n$个数的数组$a$，满足$0 \leq a_i < 2^k$，且$a_1 \,\&\, a_2 \,\&\, a_3 \,\&\, \ldots \,\&\, a_n \ge a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \ldots \oplus a_n$，问方案数。

解题思路

简单$DP$。

从高位考虑，设$dp[i]$表示前$i$位满足条件的方案数，根据$n$的奇偶性，考虑与结果第$i$位为$0$和$1$时的转移即可。

• $n$为奇数
  • 与结果第$i$位为$1$，则异或结果也为$1$，此时$dp[i] += dp[i - 1]$
  • 与结果第$i$位为$0$，则要使异或结果也为$0$，第$i$位填法有$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... + C_n^{n-1} = 2^{n-1}$，此时$dp[i] += 2^{n-1}dp[i - 1]$
  • 即$dp[i] = dp[i - 1] + 2^{n-1}dp[i-1]$
• $n$为偶数
  • 与结果第$i$位为$1$，则异或结果为$0$，剩下$i-1$位随便填，此时$dp[i] += 2^{(i-1)n}$
  • 与结果第$i$位为$0$，则要使异或结果也为$0$，第$i$位填法有$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + ... + C_n^{n - 2} = 2^{n-1} - 1$，此时$dp[i] += (2^{n-1} - 1)\times dp[i - 1]$（除去$C_n^n$即全为1的填法，因为此时与结果为1)
  • 即$dp[i] = 2^{(i-1)n} + (2^{n-1} - 1) \times dp[i-1]$

神奇的代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
 
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T, typename... rest>
void read(T &x, rest&... Rest) {
    read(x);
    read(Rest...);
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
const LL mo = 1e9 + 7;
const int N = 2e5 + 8;
 
int n, k;
 
LL dp[N], p2[N];
 
LL qpower(LL a, LL b){
    LL qwq = 1;
    while(b){
        if (b & 1)
            qwq = qwq * a % mo;
        a = a * a % mo;
        b >>= 1;
    }
    return qwq;
}
 
int main(void) {
    int kase; read(kase);
    p2[0] = 1;
    for(int i = 1; i < N; ++ i)
        p2[i] = p2[i - 1] * 2 % mo;
    for (int ii = 1; ii <= kase; ii++) {
        read(n, k);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0] = 1;
        for(int i = 1; i <= k; ++ i)
            if (n & 1){
                dp[i] = (dp[i - 1] + p2[n - 1] * dp[i - 1] % mo) % mo;
            }else{
                dp[i] = (qpower(p2[i - 1], n) + (p2[n - 1] - 1) * dp[i - 1] % mo) % mo;
            }
        write(dp[k], '\n');
    }
    return 0;
}

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