2020-04-15 23:24阅读: 284评论: 0推荐: 0

Codeforces Round #633 (Div. 1)

A. Powered Addition (CF 1338 A)

题目大意

给定一个 $n$ 个数字的数组 $a$ ，对于每一个正整数 $x$ ，你可以选择若干个数字 $i_1,i_2,i_3,...,i_k$ ，使得 $a_{i_j}=a_{i_j}+2^{x-1},\ 1 \leq j \leq k$ 。当然你也可以不进行选择。求最小的数字 $T$ ，使得当 $x$ 取过了 $1$ ~ $T$ 进行操作后，数组 $a$ 是一个非递减数组。

解题思路

从左到右，如果 $a_i>a_{i+1}$ ，我们就把 $a_{i+1}$ 变成 $a_i$ ，并记录最大的 $a_i-a_{i+1}$ ，最大值在二进制下的位数即是答案。

操作就很简单，差值在二进制下第 $i$ 位是1就在 $x=i$ 的时候选择那个数就好了。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
int main(void) {
    int kase; read(kase);
    for (int ii = 1; ii <= kase; ++ii) {
        int n;
        read(n);
        int ans=0;
        int qwq=-1e9-7;;
        for(int u,i=1;i<=n;++i){
            read(u);
            if (qwq<=u) qwq=u;
            else{
                ans=max(ans,qwq-u);
            }
        }
        int cnt=0;
        while(ans){
            ans>>=1;
            ++cnt;
        }
        write(cnt,'\n');
    }
    return 0;
}

B. Edge Weight Assignment (CF 1338 B)

题目大意

给定一棵无权树，要求对边赋一个正权值，使得任意两个叶子节点之间的路径权值异或和为 $0$ 。求所赋的不同权值数的最小值和最大值。

解题思路

如果任意两个叶子节点之间的路径长度是偶数，那么我们对全部边赋 $1$ 即可，最小为 $1$ 。

如果存在奇数长度的，注意到 $1\bigoplus 2\bigoplus 3=0$ 。我们把不与叶子节点相连的边赋为 $1$ ，是奇数长度的那对叶子节点 $a,b$ 相连的边，一个赋 $2$ ，一个赋 $3$ ，那其他叶子节点对于这两个叶子节点，如果是偶数路径，则与其叶子节点相连的边的权值一样，奇数路径则相反( $2$ 变 $3$ 、 $3$ 变 $2$ )。

对于不是 $a,b$ 的一对点 $c,d$ ，它们的边权异或和 $(c,d)$ 一定为 $0$ ，因为边权异或和可以拆成 $(c,d)=(c,a)\bigoplus(a,d)$ ，因为 $c,d$ 的 $lca$ 到 $a$ 的边权异或了两次抵消掉了。而在前面的构造里我们知道 $(c,a)=0,(a,d)=0$ ，所以 $(c,d)=0$ 。也即最小为 $3$ 。

判断奇数长度的，从一个叶子节点搜（初始深度为 $1$ ）发现有深度是偶数深度的叶子节点即可得知有奇数长度。

至于最大的，我们可以设想，除了叶子节点相连的边，其他的边都填不同的数，然后选择一个叶子节点 $a$ ，其边也填一个不同的数，然后对于其他叶子节点 $b$ ，其边填(a,fa[b])的值（fa[b]表示与叶子节点相连的边的另外一个节点）。对于不是叶子节点 $a$ 的点 $b,c$ ，其 $(b,c)$ 也一定为 $0$ ，证明也如同上面的方法，将 $(b,c)=(b,a)\bigoplus(a,c)$ 。

由于可以填的数无穷大，我们可以证明 ~~(猜想)~~ 这一定可以做到的。

所以，只有那些一个节点连了多个叶子节点的那些边的权值一定相等外，其他的都可以不一样。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
void DFS(int u,int fa,int deep[],vector<int> edge[]){
    deep[u]=deep[fa]+1;
    for(auto v:edge[u]){
        if (v==fa) continue;
        DFS(v,u,deep,edge);
    }
}
 
int dfs(int u,int fa,bool &qwq,int &ans,int deep[],vector<int> edge[],int st){
    int cnt=0;
    int aa=0;
    deep[u]=deep[fa]+1;
    for(auto v:edge[u]){
        if (v==fa) continue;
        ++cnt;
        aa+=dfs(v,u,qwq,ans,deep,edge,st);
    }
    if (!cnt){
        if (!(deep[u]&1)) qwq=true;
        return 1;
    }
    if (fa==st) ++aa;
    ans-=max(0,aa-1);
    return 0;
}
 
int main(void) {
    int n;
    read(n);
    vector<int> edge[n+1];
    for(int u,v,i=1;i<n;++i){
        read(u);
        read(v);
        edge[u].push_back(v);
        edge[v].push_back(u);
    }
    int deep[n+1]={0};
    DFS(1,1,deep,edge);
    int st=0,dest=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if (dest<deep[i]){
            dest=deep[i];
            st=i;
        }
    deep[st]=0;
    bool qwq=false;
    int ans=n-1;
    dfs(st,st,qwq,ans,deep,edge,st);
    printf("%d %d\n",(qwq?3:1),ans);
    return 0;
}

C. Perfect Triples (CF 1338 C)

题目大意

有一个有无穷无尽个正整数的数组 $s$ ，其构造方法如下：

$a<b<c$
$a,b,c \notin s$
$a\bigoplus b\bigoplus c=0$
(a,b,c)是可选中的字典序最小的一组
把a,b,c依次加入 $s$ 数组的末尾
重复第一步

现有 $t$ 组询问，每组询问一个数 $n$ ，问你数组中第 $n$ 个数（从 $1$ 开始）是多少。

解题思路

~~打表大法好~~

注意到 $1\bigoplus 2\bigoplus 3=0$ 。

这恰好是 $4$ 进制。于是我们可以把数转成四进制（二进制下俩俩合并），三个数看成一组，对于这一组的数，四进制下每一位我们就可以单独考虑。

对于最高位，由于 $a<b<c$ ，所以最高位上一定是 $1、2、3$ 。

然后对于以下的每一位，只有四种情况：

$0\ 0\ 0$
$1\ 2\ 3$
$2\ 3\ 1$
$3\ 1\ 2$

这四种情况也是按照字典序从小到大排好的,其余的情况会出现重复数字。

按照字典序从小到大构造的三元组的方法就很明显啦，对于三个数的每一位，依次取遍四种情况，然后到下一位。

这也才造成我们打的表里面，第一个数以 $4^n$ 个分组的结果。

给定 $n$ 就相当于问第 $\dfrac{n-1}{3}$ 组（从 $0$ 开始）的第 $(n-1)\%3$ 位是多少。

神奇的代码

 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
template <typename T>
void read(T &x) {
    int s = 0, c = getchar();
    x = 0;
    while (isspace(c)) c = getchar();
    if (c == 45) s = 1, c = getchar();
    while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
    if (s) x = -x;
}
 
template <typename T>
void write(T x, char c = ' ') {
    int b[40], l = 0;
    if (x < 0) putchar(45), x = -x;
    while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
    if (!l) putchar(48);
    while (l) putchar(b[--l] | 48);
    putchar(c);
}
 
void work(LL id,LL i,pair<LL,LL> &ans){
    if (i<0) return;
    if (i==0) {
        LL rank=id;
        if (rank==1){
            ans.first^=(1ll<<(i));
            ans.second^=(1ll<<(i+1));
        }else if (rank==2){
            ans.first^=(1ll<<(i+1));
            ans.second^=((1ll<<(i))^(1ll<<(i+1)));
        }else if (rank==3){
            ans.first^=((1ll<<(i))^(1ll<<(i+1)));
            ans.second^=(1ll<<(i));
        }
        return;
    }
    LL cnt=(1ll<<(i));
    work(id%cnt,i-2,ans);
    LL rank=id/cnt;
    if (rank==1){
        ans.first^=(1ll<<(i));
        ans.second^=(1ll<<(i+1));
    }else if (rank==2){
        ans.first^=(1ll<<(i+1));
        ans.second^=((1ll<<(i))^(1ll<<(i+1)));
    }else if (rank==3){
        ans.first^=((1ll<<(i))^(1ll<<(i+1)));
        ans.second^=(1ll<<(i));
    }
}
 
int main(void) {
    int t;
    read(t);
    while(t--){
        LL n;
        read(n);
        LL id=(n-1)/3;
        LL pos=(n-1)%3;
        pair<LL,LL> ans;
        ans.first=0;
        ans.second=0;
        for(int i=0;true;i+=2){
            if (id<(1ll<<i)){
                work(id,i-2,ans);
                ans.first^=(1ll<<(i));
                ans.second^=(1ll<<(i+1));
                break;
            }else id-=(1ll<<i);
        }
        printf("%lld\n",pos==0?ans.first:(pos==1?ans.second:(ans.first^ans.second)));
    }
    return 0;
}

不能打 $div2$ 但又虚 $div1$ ...... $qwq$

本文作者：~Lanly~

本文链接：https://www.cnblogs.com/Lanly/p/12709501.html

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	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	typedef long long LL;
	template <typename T>
	void read(T &x) {
	int s = 0, c = getchar();
	x = 0;
	while (isspace(c)) c = getchar();
	if (c == 45) s = 1, c = getchar();
	while (isdigit(c)) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48), c = getchar();
	if (s) x = -x;
	}

	template <typename T>
	void write(T x, char c = ' ') {
	int b[40], l = 0;
	if (x < 0) putchar(45), x = -x;
	while (x > 0) b[l++] = x % 10, x /= 10;
	if (!l) putchar(48);
	while (l) putchar(b[--l] \| 48);
	putchar(c);
	}

	int main(void) {
	int kase; read(kase);
	for (int ii = 1; ii <= kase; ++ii) {
	int n;
	read(n);
	int ans=0;
	int qwq=-1e9-7;;
	for(int u,i=1;i<=n;++i){
	read(u);
	if (qwq<=u) qwq=u;
	else{
	ans=max(ans,qwq-u);
	}
	}
	int cnt=0;
	while(ans){
	ans>>=1;
	++cnt;
	}
	write(cnt,'\n');
	}
	return 0;
	}