从狄利克雷卷积到莫比乌斯函数

之前学莫比乌斯反演的时候就被莫比乌斯函数震惊了，从$f(x)=\sum\limits_{d|n}g(d)$反演出$g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\times f(\frac{n}{d})$，给出了谜一般的$\mu(x)$函数的定义，令人百思不得其解，感觉定义出莫比乌斯函数的人似乎对容斥原理有了高深的造诣。这里从狄利克雷卷积($Dirichlet$卷积)出发，可以很自然地导出莫比乌斯函数，并得到莫比乌斯反演公式。

一些定义

积性函数

如果$gcd(x,y)=1$，且$f(xy)=f(x)\times f(y)$，则$f(x)$为积性函数。

数论函数

数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数——《百度百科》

总之可以理解为是定义域为正整数集的函数。

常见的数论函数：

单位函数：$\epsilon(n)=[n=1]$

常数函数：$1(n)=1$

恒等函数：$Id(n)=n$

欧拉函数：$\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]$

莫比乌斯函数：$\mu(n)$

$Dirichlet$卷积

定义

$f,g$为两个数论函数，它们的$Dirichlet$卷积为：

$$(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)*g(\dfrac{n}{d})$$

（可见它跟数的因子有很密切的关系）

其中单位函数$\epsilon(n)=[n=1]$是$Dirichlet$卷积的单位元，即任何函数卷$\epsilon$都得它本身。

可以理解卷积是一种运算，它的作用对象是函数。

性质

$Dirichlet$卷积满足交换律、结合律和分配律。

交换律

$$(f*g)(n)=(g*f)(n)$$

证明它不香吗？

证明：

由于$d$与$\dfrac{n}{d}$有对称性，故

$$(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\times g(\dfrac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}g(d)\times f(\dfrac{n}{d})=(g*f)(n)$$

证毕。

结合律

$$((f*g)*h)(n)=(f*(g*h))(n)$$

证明它不香吗？

证明：

$$((f*g)*h)(n)=\sum\limits_{t\times d_3=n}(\sum\limits_{d_1\times d_2=t}f(d_1)\times g(d_2))\times h(d_3)=\sum\limits_{d_1\times d_2\times d_3=n}f(d_1)\times g(d_2)\times h(d_3)=\sum\limits_{t\times d_1=n}f(d_1)\times (\sum\limits_{d_2\times d_3=t}g(d_2)\times h(d_3))=(f*(g*h))(n)$$

证毕。

分配律

$$((f+g)*h)(n)=(f*h)(n)+(g*h)(n)$$

证明它不香吗？

证明：

$$((f+g)*h)(n)=\sum\limits_{d|n}(f(d)+g(d))\times h(\dfrac{n}{d})=\sum\limits_{d|n}f(d)\times h(\dfrac{n}{d})+\sum\limits_{d|n}g(d)\times h(\dfrac{n}{d})=(f*h)(n)+(g*h)(n)$$

证毕。

两个积性函数的Dirichlet卷积仍然是积性函数。

证明它不香吗？

证明：

若$gcd\left( x,y\right)=1$，则$f\left( xy\right)=f\left( x\right)\times f\left( y\right)$，$g\left( xy\right)=g\left( x\right)\times g\left( y\right)$。

则

$$\left( f*g\right)\left( n\right)\times \left( f*g\right)\left( m\right)=\displaystyle \sum\limits_{d_1|n}f\left( d_1\right)\times g\left( \dfrac{n}{d_1}\right)\times \displaystyle \sum\limits_{d_2|m}f\left( d_2\right)\times g\left( \dfrac{m}{d_2}\right)=\displaystyle \sum\limits_{d_1|n}\displaystyle \sum\limits_{d_2|m}f\left( d_1\right)\times f\left( d_2\right)\times g\left( \dfrac{n}{d_1}\right)\times g\left( \dfrac{m}{d_2}\right)=\displaystyle \sum\limits_{d_1|n}\displaystyle \sum\limits_{d_2|m}f\left( d_1d_2\right)\times g\left( \dfrac{nm}{d_1d_2}\right)=\displaystyle \sum\limits_{d|nm}f\left( d\right)g\left( \dfrac{nm}{d}\right)=\left( f*g\right)\left( nm\right)$$

证毕。

$Dirichlet$卷积的逆

类比算数运算上的$a\times b=1$，如果两个数论函数的卷积后为单位$1$，即$f*g=\epsilon$（$n$省略），则$g$是$f$的逆，即$g=f^{-1}$，我们考虑下如何去求$f^{-1}$。

把$f*g=\epsilon$展开得$\displaystyle \sum\limits_{d|n}f\left( d\right)\times g\left( \dfrac{n}{d}\right)=\epsilon\left( n\right)$，我们要求的是$g\left( n\right)$，把它从和式分离出来得

$$f\left( 1\right)\times g\left( n\right)=\epsilon\left( n\right)-\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq 1}f\left( d\right)\times g\left( \dfrac{n}{d}\right)$$

当$f\left( 1\right)\neq 0$时，存在$g\left( n\right)=\dfrac{1}{f\left( 1\right)}\times \left( \epsilon\left( n\right)-\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq 1}f\left( d\right)\times g\left( \dfrac{n}{d}\right)\right)$，即

$$f^{-1}\left( n\right) =\dfrac{1}{f\left( 1\right) }\times \left( \epsilon\left( n\right) -\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq 1}f\left( d\right) \times f^{-1}\left( \dfrac{n}{d}\right) \right)$$

很显然当$n=1$时$f^{-1}(1)=1$。

这就是$Dirichlet$卷积的逆公式。

从这里可以很容易证明，如果$f(n)$是积性函数，它的逆$f^{-1}(n)$也是积性的，方法同第四条性质的证明方法。

莫比乌斯反演

讲了这么多，终于轮到莫比乌斯了。

已知$f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)$，求$g(n)$。

我们从$Dirichlet$卷积的角度去看式子，即是$f=g*1$，即函数$f(n)$是$g(n)$与常数函数$1(n)=1$的$Dirichlet$卷积的结果。

我们要求$g(n)$，我们可以在等式两边乘以常数函数的逆$1^{-1}(n)$，这样式子就变成了$g*(1*1^{-1})=g=f*1^{-1}$，这样我们就可以求得$g(n)$，现在关键是如何求得$1^{-1}(n)$。

由于$1*1^{-1}=\epsilon$，根据上面的逆的公式得到

$$1^{-1}(n)=\dfrac{1}{1\left( 1\right) }\times \left( \epsilon\left( n\right) -\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq n}1\left( d\right) \times 1^{-1}\left( \dfrac{n}{d}\right) \right)=\left( \epsilon\left( n\right) -\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq n}1^{-1}\left( \dfrac{n}{d}\right) \right)$$

我们记$1^{-1}(n)=\mu(n)$。

因为$1(n)$是积性函数，故其逆$\mu(n)$也是积性的。

当$n=1$时，$\mu(1)=1$。

当$n>1$时，$\epsilon(n)=0$，$\mu(n)= -\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq 1}\mu\left( \dfrac{n}{d}\right)=-\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq n}\mu\left( d\right)$

当$n$是质数时，$\mu(n)= -\displaystyle \sum\limits_{d|n且d\neq n}\mu\left( d\right)=-\mu(1)=-1$。

当$n$是质数的幂时，设$n=p^c(c>1)$，则$\mu(p^c)=-\displaystyle \sum\limits_{d|p^{c-1}}\mu\left( d\right)=-\mu(p^{c-1})-\displaystyle \sum\limits_{d|p^{c-2}}\mu\left( d\right)=-\mu(p^{c-1})+\mu(p^{c-1})=0$。

故如果$n=\prod\limits_{i}p_i^{c_i}\prod\limits_{j}p_j$，其中$c_i>1$，$p_i$均是各异的质数，由于$\mu(n)$是积性函数，则$\mu(n)=\prod\limits_{i}\mu(p_i^{c_i})\prod\limits_{j}\mu(p_j)=0\times \prod\limits_{j}\mu(p_j)=0$。

当$n=\prod\limits_{i=1}^{k}p_i$，根据其积性，可得$\mu(n)=\prod\limits_{i=1}^{k}\mu(p_i)=(-1)^{k}$，其中$k$是$n$质因数分解后互异质数的个数。

综上我们就可以得到$\mu(n)$的表达式了。

莫比乌斯函数

设$n=\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_{i}}$

$$\mu(n)=\begin{cases} 1 & n=1 \\ 0 & \exists i \in [1,k],c_i>1 \\ (-1)^k & \forall i \in [1,k],c_i=1 \end{cases}$$

由此我们就得到了常数函数$1(n)$的逆的表达式$\mu(n)$，所以$g=f*1^{-1}=f*\mu$，即$g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)*\mu(\dfrac{n}{d})$。

这就是莫比乌斯反演中得到的公式以及$\mu(n)$函数的由来了。

莫比乌斯反演还有另一种形式：

$f(n)=\sum\limits_{n|d}g(d)$，则$g(n)=\sum\limits_{n|d}f(n)\times \mu(\dfrac{d}{n})$。

然而就算知道这些你还是不会做题

由于$\mu*1=\epsilon$，其中$\epsilon(n)$当且仅当$n=1$时$\epsilon(n)=1$，其余情况$\epsilon(n)=0$，这与$[gcd(i,n)=1]$非常类似，因为也是只有当$gcd(i,n)=1$时$[gcd(i,n)=1]=1$，其余情况$[gcd(i,n)=1]=0$。

故对于$[gcd(i,n)=1]$我们可以把它替换成$\epsilon([gcd(i,n)=1])$，再而换成$\displaystyle\sum\limits_{d|gcd(i,n)}\mu(d)$，然后我们就可以搞事情了并不知道有什么用，看看下面吧。

欧拉函数

众所周知，$\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)=1]$，我们将右式替换，得到

$$\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\mu(d)$$

然后我们再进行常规变换，改变求和的顺序，先枚举因子，然后看看这个因子出现了多少次。

$$\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|gcd(i,n)}\mu(d)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\times \frac{n}{d}$$

把$n$移到左边就得到一个著名的式子

$$\dfrac{\varphi(n)}{n}=\sum\limits_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d}$$

莫比乌斯函数与欧拉函数就神奇的联系在一起了。

还是看上面的式子，写成$Dirichlet$卷积的形式就是

$$\varphi=\mu*Id$$

其中$Id(n)=n$。对这个式子我们两边再卷常数函数$1$得

$$\varphi*1=1*\mu*Id=\epsilon*Id=Id$$

即$n=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)$

欧拉函数还有另一种求法，根据欧拉函数的定义，

若$n=p$是质数，则$\varphi(p)=p-1$

若$n=p^c$，由于$p\times i\ (i \in [1,p^{c-1}])$都是$n$的因子，根据容斥原理知$\varphi(p^c)=p^c-p^{c-1}=p^{c}\times (1-\frac{1}{p})$。

若$n=\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_i}$，由于欧拉函数是积性函数，故$\varphi(n)=\prod\limits_{i=1}^{k}\varphi(p_{i}^{c_i})=\prod\limits_{i=1}^{k}p_{i}^{c_i}(1-\dfrac{1}{p_{i}^{c_i}})=n\prod\limits_{i=1}^{k}(1-\dfrac{1}{p_{i}^{c_i}})$

总结

这篇文章讲了什么呢其实什么都没讲，其实就是从$Dirichlet$卷积的角度介绍了莫比乌斯函数$\mu(n)$和莫比乌斯反演以及证明了关于欧拉函数$\varphi(n)$与莫比乌斯函数$\mu(n)$的等式。至于题目，大都是要运用技巧和$[gcd(i,n)=1]=\sum\limits_{d|gcd(i,n)}\mu(d)$等式，进行各种变换，最后再预处理加上什么数论分块的做法解决的，但这并不是这篇文章的重点。

至于杜教筛，是用来解决某些特别的数论函数$f(n)$的$S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)$的方法，通过选择另外两个数论函数$h(n),g(n)$，使得$h=f*g$，从卷积的角度出发诱导出$S(n)$。至于如何选择$h,g$，卷积的恒等式：

$$\epsilon=\mu*1$$

$$d=1*1$$

$$\sigma=d*1$$

$$\varphi=\mu*Id$$

$$Id=\varphi*1$$

给我们指引了方向。具体的怎样留个坑qwq

其中$d(n)$表示$n$的因子个数，$\sigma(n)$表示$n$的因子和。